tag:blogger.com,1999:blog-7833897386158513542024-02-18T23:47:23.013-06:00AlgebraTemas y ejercicios de álgebra Unknownnoreply@blogger.comBlogger55125tag:blogger.com,1999:blog-783389738615851354.post-65698047213681096902017-07-11T12:13:00.000-05:002017-07-11T12:13:46.520-05:00Soluciones Notación Algebraica<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<br />
Expresa con notación algebraica las siguientes afirmaciones:<br />
<br />
<br />
Un número es menor al cuadrado de sí mismo.<br />
$a<a^{2}$<br />
<br />
<br />
El triple de un número más dos es igual a cinco veces otro número.<br />
$3b+2=5c$<br />
<br />
<br />
El área de un círculo es igual a pi por radio al cuadrado.<br />
$A=\pi r^{2}$<br />
<br />
<br />
El cubo de un número es mayor al duplo de este.<br />
$a^{3}>2a$</div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-783389738615851354.post-16966735714956048982017-07-10T14:41:00.001-05:002017-07-10T14:41:35.147-05:00Soluciones Parte de un Término<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Utilizando el monomio $5x^{z-3}$ responde cierto o falso a las siguientes afirmaciones:<br />
<br />
<br />
$x$ es la parte literal del término. Cierto<br />
<br />
El grado del término es $5$ Falso<br />
<br />
El coeficiente del término es $5$ Cierto<br />
<br />
El grado del término es $3$ Falso<br />
<br />
El signo en el término es negativo ($-$) Falso<br />
<div>
<br /></div>
</div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-783389738615851354.post-28769353201841522062017-07-10T14:12:00.000-05:002017-07-10T14:12:17.752-05:00Soluciones Signos de Relacion<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Indica si son ciertas o falsas las siguientes relaciones:<br />
<br />
$-2<0$ Cierto<br />
<br />
$-3>-5$ Cierto<br />
<br />
$\pi =3.1416$ Falso<br />
<br />
$-2=2$ Falso<br />
<div>
<br /></div>
</div>
Unknownnoreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-783389738615851354.post-9577032133726200672017-07-10T13:58:00.001-05:002017-07-10T13:58:31.784-05:00Soluciones Signos de Agrupación<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Resuelve:<br />
<br />
$3y-2\left \{4x-5z-3\left [x-2y+3\left ( z-y \right )+4\left ( y-z+x \right ) \right ] \right \}$<br />
<br />
$3y-2\left \{4x-5z-3\left [x-2y+3z-3y+4y-4z+4x \right ] \right \}$<br />
<br />
$3y-2\left \{4x-5z-3\left [5x-y-z \right ] \right \}$<br />
<br />
$3y-2\left \{4x-5z-15x+3y+3z \right \}$<br />
<br />
$3y-2\left \{-11x+3y-2z \right \}$<br />
<br />
$3y+22x-6y+4z$<br />
<br />
$22x-3y+4z$<br />
<br />
<br />
Encuentras más ejemplos resueltos <a href="http://mathmaya.com/2017/04/25/suprimir-signos-de-agrupacion/">aquí</a></div>
Unknownnoreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-783389738615851354.post-79258954026871847772017-05-22T10:53:00.000-05:002017-05-22T10:53:04.470-05:00Soluciones Binomio al Cubo<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Elevar al cubo:<br />
<br />
<br />
$\left ( x-2 \right )^{3}$<br />
<br />
$x^{3}-6x^{2}+12x-8$<br />
<br />
<br />
<br />
$\left ( 4f-2x \right )^3$<br />
<br />
$64f^3-96f^2x+48fx^2-8x^3$<br />
<br />
<br />
<br />
$\left ( \frac{3}{4}b-e^3 \right )^3$<br />
<br />
$\frac{27b^3}{64}-\frac{27e^3b^2}{16}+\frac{9e^6b}{4}-e^9$<br />
<br />
<br />
<br />
$\left ( 3+2m^n \right )^3$<br />
<br />
$36m^{2n}+8m^{3n}+54m^{n}+27$<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br /></div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-783389738615851354.post-36723738041493834102017-02-20T10:11:00.000-06:002017-05-15T21:18:22.040-05:00Formas Indeterminadas<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
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MathJax.Hub.Config({
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displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ],
},
"HTML-CSS": { availableFonts: ["TeX"] }
});
</script>
<br />
<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Cuando hablamos sobre fracciones en ocasiones nos encontramos con formas difícil de entender, por ejemplo están las siguientes formas:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$\frac{0}{a}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\frac{a}{0}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\frac{a}{\infty }$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\frac{0}{0}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
La interpretación de las formas anteriores es la siguiente:</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;">$\frac{0}{a}=0$</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
$\frac{a}{0}=\infty$</div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;">$\frac{a}{\infty}=0$</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;">$\frac{0}{0}=$ valor indeterminado</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<h3 style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;">Te puede interesar esta entrada: <a href="http://mathmaya.com/2017/02/20/encontrando-el-valor-de-las-formas-indeterminadas/" target="_blank">Encontrando el valor de las formas indeterminadas</a></span></h3>
</div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<br /></div>
</div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-783389738615851354.post-50237767774581646552016-12-06T14:17:00.001-06:002017-02-23T18:00:31.994-06:00Soluciones Factorización por Factor Común<script src="https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
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</script>
<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<ol style="text-align: left;">
<li>$a\left ( a+b \right )$</li>
<li>$x^{3}\left ( y+z \right )$</li>
<li>$a^{2}\left (a^{2}+a+1 \right)$</li>
<li>$5y\left ( 3y^{2}+4y-1 \right )$</li>
<li>$8x^{2}y\left (-3x^{2}y +2xy-1 \right )$</li>
</ol>
</div>
Unknownnoreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-783389738615851354.post-53030892589712980112016-11-04T09:33:00.002-06:002017-02-23T18:00:47.199-06:00Soluciones Términos Semejantes<script src="https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
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},
"HTML-CSS": { availableFonts: ["TeX"] }
});
</script>
<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<br />
<br />
<ol style="text-align: left;">
<li>$11b$</li>
<li>$-9x$</li>
<li>$-7ab$</li>
<li>$3k^{z-2}$</li>
<li>$\frac{99b^{2}}{20}$</li>
<li>$\frac{x}{8}$</li>
<li>$\frac{17xy^{3}}{2}$</li>
<li>$0$</li>
</ol>
</div>
Unknownnoreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-783389738615851354.post-62182531167041411052016-11-04T09:19:00.000-06:002017-02-23T18:01:00.022-06:00Soluciones Ley de los Exponentes<script src="https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
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</script>
<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<br />
$x^{-z}=\frac{1}{x^{z}}$<br />
<br />
$x^{m}x^{m}=x^{2m}$<br />
<br />
$\frac{b^{2}}{b^{3}}=b^{2-3}=b^{-1}=\frac{1}{b}$<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<h3>
<a href="http://dealgebra.blogspot.com/2016/05/ley-de-los-exponentes-ii.html" target="_blank">Ley de los Exponentes II</a></h3>
<div>
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://mathmaya.com/" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgjWxzZh5oVei9zvjAXiCLam-FNvZvvyljY6-BQxzOmaUwNgAuli8tz8l5RDUnNXI058XDFdqf7YYYE51Y-u3ejaQgvYEGsWQsuW5oGfUEvmbfve-Ryqam3Nl0R5-GEVLTQqSORw3H41E40/s1600/mathmaya.png" /></a></div>
<div>
<br /></div>
</div>
</div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-783389738615851354.post-7596672882264575502016-05-30T11:03:00.000-05:002017-03-04T12:10:11.767-06:00Leyes de los exponentes II<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
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</script>
<br />
<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
En la parte uno de "Leyes de los exponentes" se explicaron los casos: potencias con exponente negativo, multiplicación de potencias con misma base y división de potencias con misma base.<br />
Ahora analizaremos los casos: exponentes elevados a una potencia, y exponentes fraccionarios.<br />
<br />
<b>Exponentes elevados a una potencia</b><br />
<b><br /></b>
Nos referimos a la siguiente ley:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<img src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgwZ-OD_p7DSiZJHFuoTlMOtUZxEDabWJLgf6zHq-eoXTUMFqoXRYQTXsNvNdQs44pPLSVarum8RR1v6igGvwyTItgk4E-b2QpK5DluEblMwyDaQGHW_4mqxCEmqUS-na2MNmrPVW1fjp2B/s1600/13e9i.png" /></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Cuando existe una base "$a$" elevada a un exponente "$m$" y ese término se eleva a otro exponente "$n$" el resultado es la base "$a$" elevada al producto "$m\times n$". Ejemplo:</div>
<div style="text-align: left;">
</div>
<a name='more'></a><br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$\left ( a^{3} \right )^{2}=a^{3\cdot 2}=a^{6}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\left ( a^{z} \right )^{2}=a^{z\cdot 2}=a^{2z}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
¿Qué pasa si hay exponentes fraccionarios? aplicamos la misma regla:</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\left ( a^{\frac{3}{7}} \right )^{2}=a^{\frac{3}{7}\cdot 2}=a^{\frac{6}{7}}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div><br />
<div style="text-align: center;">Publicidad</div>
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</script>
</div>
<br /><br />
<div style="text-align: left;">
<b>Exponentes fraccionarios</b></div>
<div style="text-align: left;">
<b><br /></b></div>
<div style="text-align: left;">
En este caso analizaremos la siguiente igualdad:</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
simplemente nos dice otra forma de expresar un exponente fraccionario utilizando radicales.El exponente que aparece en el numerador "$m$" acompaña a la base "$a$" dentro del radical, el denominador nos indica tendrá que sacarse raíz $n$ al término "$a^{m}$". Ejemplo</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$a^{\frac{3}{2}}=\sqrt{a^{3}}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$a^{\frac{5}{3}}=\sqrt[3]{a^{5}}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<b><br /></b></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
</div>
</div>
Unknownnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-783389738615851354.post-14724581388440460952016-05-19T14:30:00.000-05:002017-05-16T16:18:13.937-05:00Identidades trigonométricas (I)<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
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},
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});
</script>
<br />
<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Las identidades trigonométricas involucran expresiones con funciones trigonométricas tales como: seno, coseno, tangente, etc. Existen muchas identidades trigonométricas pero las más importantes o usadas pueden clasificarse de la siguiente forma:<br />
<br />
<b>Identidades recíprocas</b><br />
<br />
$\sin u=\frac{1}{\csc u}$<br />
<br />
$\tan u=\frac{1}{\cot u}$<br />
<br />
$\csc u=\frac{1}{\sin u}$<br />
<br />
$\cos u=\frac{1}{\sec u}$<br />
<br />
$\cot u=\frac{1}{\tan u}$<br />
<br />
$\sec u=\frac{1}{\cos u}$<br />
<br />
<b>Relación pitagórica </b><br />
<b></b><br />
<a name='more'></a><b><br /></b>
$\sin ^{2}u+\cos ^{2} u=1$<br />
<br />
$1+\tan ^{2} u=\sec ^{2}u$<br />
<br />
$1+\cot ^{2}u=\csc ^{2}u$<br />
<br />
<b>Identidades con cocientes</b><br />
<b><br /></b>
$\tan u=\frac{\sin u}{\cos u}$<br />
<br />
$\cot u=\frac{\cos u}{\sin u}$<br />
<br />
<b>Identidades con cofunciones</b><br />
<br />
$\sin \left (\frac{\pi}{2}-u \right )=\cos u$<br />
<br />
$\tan \left (\frac{\pi}{2}-u \right )=\cot u$<br />
<br />
$\csc \left (\frac{\pi}{2}-u \right )=\sec u$<br />
<br />
$\cos \left (\frac{\pi}{2}-u \right )=\sin u$<br />
<br />
$\cot \left (\frac{\pi}{2}-u \right )=\tan u$<br />
<br />
$\sec \left (\frac{\pi}{2}-u \right )=\csc u$<br />
<br />
<br />
<a href="http://mathmaya.com/2017/05/15/identidades-trigonometricas/">Ver más</a><br />
<br /></div>
</div>
Unknownnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-783389738615851354.post-53479365307709515512015-06-02T15:13:00.000-05:002017-05-18T09:30:07.647-05:00Triángulo<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
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</script>
<br />
<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
El triángulo es la unión de tres puntos que no se encuentran sobre la misma línea, existen triángulos equilátero cuyos lados son todos iguales, isóceles donde dos de sus lados son iguales y el tercero no, y por último escaleno que tiene todos sus lados diferentes, dentro de los triángulos también existe el triángulo rectángulo cuya característica es que uno de sus ángulos mide $90^{\circ}$ en seguida la imagen de un triángulo común:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhK7mnxtv4XzvAx8Ubt0iWn_Kf9iNKtMXT4NY929ZhLOlyvrn6_CBuh9r_gdwH9KrZyjGqUou5b82yJtVnZU5ceDlN4dhmqn9AL0N0Ytvqty5pOZjF4boIKoNC1XFr4JEVRkqePAHpK9mz/s1600/IMG_0080.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhK7mnxtv4XzvAx8Ubt0iWn_Kf9iNKtMXT4NY929ZhLOlyvrn6_CBuh9r_gdwH9KrZyjGqUou5b82yJtVnZU5ceDlN4dhmqn9AL0N0Ytvqty5pOZjF4boIKoNC1XFr4JEVRkqePAHpK9mz/s320/IMG_0080.PNG" width="278" /></a></div>
<br />
<br />
<b>Partes</b><br />
<br />
$h=\overline{AD}=$ altura<br />
<br />
$a,b,c=$ lados<br />
<br />
$s=$ semiperímetro<br />
<br />
<b>Perímetro</b><br />
<br />
$P=a+b+c$<br />
<br />
<b>Área</b><br />
<br />
$A=\frac{ah}{2}$<br />
<br />
<b>Semiperimetro</b><br />
<br />
$s=\frac{a+b+c}{2}$<br />
<br />
<br />
<br />
<br /></div>
</div>
Unknownnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-783389738615851354.post-76928342553253512522015-05-30T21:01:00.001-05:002017-03-07T13:22:24.840-06:00Regla de tres simple<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
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displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ],
},
"HTML-CSS": { availableFonts: ["TeX"] }
});
</script>
<br />
<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
La regla de tres simple se utiliza para resolver problemas en los que existen tres cantidades conocidas y se desea saber una cuarta, lo que caracteriza a los problemas que se pueden resolver con esta regla es que son problemas en los que las cantidades son proporcionales entre sí <span style="background-color: #f6b26b;">de forma directa</span>, se puede expresar de la siguiente manera:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$A\rightarrow B$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$A_{2}\rightarrow ?$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
El proceso que debemos seguir para obtener la cantidad desconocida (?) básicamente consiste en encontrar un "número" que al multiplicarlo por $A$ nos dé la cantidad $B$, una vez tenemos ese "número" entonces se lo aplicamos a <span style="text-align: center;">$A_{2}$ es decir multiplicamos </span><span style="text-align: center;">$A_{2}$ por el "número", ahora solo resta saber cómo encontramos ese número. Imaginemos tenemos las siguientes cantidades:</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;"></span><br />
<a name='more'></a><span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<div style="text-align: center;">
$2\rightarrow 6$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$4\rightarrow ?$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Fácilmente se ve que el factor por el que hay que multiplicar $A$ es 3 puesto que $2\cdot \underline{3}=6$ también es sencillo darse cuenta que el 3 puede obtenerse haciendo la división $\frac{6}{2}$ entonces si el factor buscado es 3 solo bastaría multiplicar 4 <span style="text-align: center;">por 3 para obtener la cantidad desconocida (?) que en nuestro ejemplo es $12$, poniendo todo esto junto diríamos que es algo como lo siguiente:</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<div style="text-align: center;">
$A_{2}(\frac{B}{A})=?$</div>
<div>
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;">o lo que es lo mismo:</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<div style="text-align: center;">
$\frac{A}{A_{2}}=\frac {B}{?} \therefore A(?)=B(A_{2}) \therefore ?=\frac {A_{2}B}{A}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Es bueno decir que la regla de tres simple <i>solo</i> se usa en los casos en los que las magnitudes se relacionan así:</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="background-color: #f6b26b;">A más de "algo" </span><span style="text-align: center;">$\rightarrow $</span><span style="background-color: #f6b26b;"> </span><span style="background-color: #f6b26b;">más</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="background-color: #f6b26b;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="background-color: #f6b26b;">A menos de "algo"</span><span style="background-color: #f6b26b;"> </span><span style="text-align: center;">$\rightarrow $</span><span style="background-color: #f6b26b;"> m</span><span style="background-color: #f6b26b;">enos</span></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
La pregunta es ¿Qué acaso no es siempre así en todos los problemas? la respuesta es no, veamos este ejemplo: un carro hace 5 horas a 80km/hr de una ciudad a otra, pero a 120km/hr hace menos tiempo ¿verdad? es decir:</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
A <i style="background-color: #b6d7a8;">más</i> "kilómetros por hora" tendremos <i style="background-color: #b6d7a8;">menos</i> horas de viaje. </div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Entonces no podremos aplicar la regla de tres simple.</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<h3 style="text-align: center;">
Ejemplos resueltos con la Regla de Tres Simple</h3>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<b>1.-</b>Un automóvil en 5 horas recorre 400km ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 12 horas?</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$5\rightarrow 400$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$12\rightarrow ?$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Según nuestra teoría debemos buscar un factor por el cual multiplicar 5 para que se convierta en 400 y <i>aplicárselo</i> a 12, según nuestra fórmula lo obtenemos así:</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;"> $? =\frac {12(400)}{5} \therefore ?=960$</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;">El automóvil recorre 960km en 12 horas.</span><br />
<span style="text-align: center;"><br /></span>
<span style="text-align: center;"><b>2.-</b>En el salón de clase el profesor pone un examen con 18 preguntas que valen el 65% de los puntos, un alumno saca 13 preguntas correctas,¿Qué porcentaje de los 65 representan esos 13 aciertos?</span><br />
<span style="text-align: center;"><br /></span>
<br />
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: left;">
Puesto que a <i>menos</i> respuestas correctas se espera <i>menos</i> puntos entonces se puede aplicar la regla de tres simple.</div>
<br />
$18\rightarrow 65$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<span style="text-align: center;"></span><br />
<div style="text-align: center;">
$13\rightarrow ?$<br />
<br />
<br />
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; color: black; font-family: 'Times New Roman'; font-size: medium; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: left; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: 1; word-spacing: 0px;">
</div>
<br />
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; color: black; font-family: 'Times New Roman'; font-size: medium; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: left; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: 1; word-spacing: 0px;">
<div style="margin: 0px; text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<div style="margin: 0px; text-align: left;">
<span style="text-align: center;"> $? =\frac {13(65)}{18} \therefore ?=46.94$</span></div>
<div style="margin: 0px; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="margin: 0px; text-align: left;">
13 respuestas correctas representan 46.94 puntos de los 65.</div>
<div style="margin: 0px; text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<div style="margin: 0px; text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
</div>
</div>
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
</div>
</div>
Unknownnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-783389738615851354.post-179600036493683782015-05-27T09:53:00.001-05:002017-02-23T18:02:31.042-06:00Números primos<script src="https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
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</script>
<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Los números primos son los más importantes dentro de la teoría de números, estos números son los principales (de ahí el nombre primos) pues a partir de productos de estos podemos obtener cualquier otro número entero.<br />
<br />
<b>¿Qué son los números primos?</b><br />
<b> </b><br />
<b> </b>Si quisiéramos usar una definición tenemos la de wikipedia:<br />
<div style="text-align: left;">
<i><b style="background-color: white; font-family: sans-serif; line-height: 19.200000762939453px;"><br /></b></i></div>
<div style="text-align: center;">
<i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><b style="background-color: white; line-height: 19.200000762939453px;">" Número primo</b><span style="background-color: white; line-height: 19.200000762939453px;"> es un número natural</span><span style="background-color: white; line-height: 19.200000762939453px;"> mayor que 1 que tiene <b>únicamente</b> dos divisores</span><span style="background-color: white; line-height: 19.200000762939453px;"> distintos: él mismo y el 1</span>."</span></i></div>
<div style="text-align: center;">
<i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></i></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><i> </i></span>Una definición usando ejemplos es esta:</div>
<div style="text-align: left;">
<br />
<a name='more'></a><br /></div>
<div style="text-align: left;">
$13$ es un número primo porque 13 es divisible <i>solo por él mismo y 1.</i></div>
<div style="text-align: left;">
<i><br /></i></div>
<div style="text-align: left;">
$8$ no es primo porque puede dividirse por él mismo, por 4, por 2 y por 1. Muchos números. </div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<b>Teorema fundamental de la aritmética</b></div>
<div style="text-align: left;">
En pocas palabras lo que dice este teorema es que todo entero distinto de $0$ y $\pm 1$ es producto de primos.<br />
<br />
Vamos a ver los primeros números y como se cumple este teorema:<br />
<br />
$2=2$ que es primo.<br />
$3=3$ es primo también<br />
$4=2\cdot 2$ y vimos que 2 es primo entonces el teorema se cumple.<br />
$5=5$ que es primo<br />
$6=2\cdot 3$ 2 y 3 son primos<br />
$7=7$ es primo<br />
$8=2\cdot 2\cdot 2$<br />
$9=3\cdot 3$<br />
$10=2\cdot 5$<br />
<br />
Y pudiéramos seguir con todos los números y veríamos que el teorema se cumpliría, claro esto no es una demostración, pero no es la idea de este artículo darla (puedes ver una<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Euclides"> aquí</a>). </div>
<div style="text-align: left;">
<b><br /></b></div>
<div style="text-align: center;">
<i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></i></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><i> </i></span></div>
<br />
<br /></div>
Unknownnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-783389738615851354.post-14565983852220862812015-05-26T21:56:00.001-05:002017-02-23T18:02:51.376-06:00Problemas resueltos usando el teorema de pitágoras<script src="https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
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<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
El teorema de pitágoras es conocido por ser muy simple y práctico, la definición del teorema la puedes ver <a href="http://dealgebra.blogspot.com/2013/08/teorema-de-pitagoras.html">aquí</a>, a continuación algunos ejemplos resueltos con el teorema:<br />
<br />
<b>1.-</b> Dado un ángulo como el que se muestra en la figura ¿Es posible saber si es de 90 grados usando el teorema de pitágoras?<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiB919JjeNgLLvg7HUzwPOWTZCuxypFc0oWdy4gIapOCCL3bHaCkivO8GvVBOcgENbfe7nxmFPqGTIAEdOtM6MBZRG1YvfNtZqSn7P9daSlmohSvBZA4UHdoohuoNJTlqgUyrwN3SNXdA6X/s1600/IMG_0077.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="272" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiB919JjeNgLLvg7HUzwPOWTZCuxypFc0oWdy4gIapOCCL3bHaCkivO8GvVBOcgENbfe7nxmFPqGTIAEdOtM6MBZRG1YvfNtZqSn7P9daSlmohSvBZA4UHdoohuoNJTlqgUyrwN3SNXdA6X/s320/IMG_0077.PNG" width="320"></a></div>
Sí es posible determinar si el ángulo en B es de $90^{\circ}$, podemos unir el punto A con el punto C, después medir los segmentos $\bar{AB}$, $\bar{BC}$ y $\bar{AC}$, por último comprobar si se cumple la relación $(\bar{AB})^{2}+(\bar{BC})^{2}=(\bar{AC})^{2}$ en caso de ser así entonces <br />
<a name='more'></a>el ángulo en B será de $90^{\circ}$ de lo contrario no.<br />
<br />
<b>2.-</b>¿Puedo hacer un ángulo de $90^{\circ}$ usando el teorema de pitágoras?<br />
Sí, solo es necesario dibujar un triángulo que por construcción cumpla el teorema de pitágoras y uno de sus angulos (el opuesto a la hipotenusa) será de $90^{\circ}$, se puede usar la terna de valores 3,4 y 5 para construir uno.<br />
<br />
<b>3.-</b>Tengo dos puntos coordenados en el plano, ¿me sirve de algo el teorema de pitágoras?<br />
Usando el teorema puedes saber la distancia entre los dos puntos, supongamos que los puntos son a(0,3) y b(5,0) utilizamos la fórmula de distancia entre dos puntos que básicamente es el teorema de pitágoras, para dos puntos a($x_{1},y_{1}$) y b($x_{2},y_{2}$) la fórmula es:<br />
<br />
$d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$<br />
<br />
en nuestro ejemplo sería:<br />
<br />
$d=\sqrt{(5-0)^{2}+(0-3)^{2}}$<br />
<br />
$d=\sqrt{(5)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{25+9}$<br />
<br />
$d=\sqrt{36}=6$<br />
<br />
<b>4.-</b>En la siguiente figura ¿Cuánto mide el segmento $\bar{BC}$?<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjPV-MFAKXHHvbbd3O6l4Kyq5X_jvxsCbzVo2cx_XqfpqOV-iUJ-3JZbWfOHX2OSPPqmwX4NK1TsATdXeVF1eZ6TIaJurbEK8dW7TjF2IbcULdMR42j6j6YuSWgaRIVfM3WNA6oL7V1tNR_/s1600/IMG_0076.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="300" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjPV-MFAKXHHvbbd3O6l4Kyq5X_jvxsCbzVo2cx_XqfpqOV-iUJ-3JZbWfOHX2OSPPqmwX4NK1TsATdXeVF1eZ6TIaJurbEK8dW7TjF2IbcULdMR42j6j6YuSWgaRIVfM3WNA6oL7V1tNR_/s320/IMG_0076.PNG" width="320"></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Usando el teorema de pitágoras quedaría la siguiente ecuación $(4U)^{2}+?^{2}=(5U)^{2}$ después:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
$16U^{2}+?^{2}=25U^{2}$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
$?^{2}=25U^{2}-16U^{2}$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
$?^{2}=9U^{2}$<br />
<br />
$?=3U$<br />
<br />
<b>5.- </b>La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 17cm y uno de sus catetos 12cm, ¿Cuánto mide el otro de sus catetos?<br />
<br />
$(12cm)^{2}+?^{2}=(17cm)^{2}$<br />
<div class="separator" style="clear: both;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
$144cm^{2}+?^{2}=289cm^{2}$</div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
$?^{2}=289cm^{2}-144cm^{2}$</div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<br /></div>
$?^{2}=145cm^{2}$<br />
<br />
$?=\sqrt{145cm^{2}}$<br />
<br />
$?\approx 12.04cm$<br />
<div>
<br /></div>
</div>
Unknownnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-783389738615851354.post-8257547347310954262015-05-11T18:30:00.001-05:002017-02-23T18:03:50.741-06:00Exponentes<script src="https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
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<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Conocidos como potencias o índices los exponentes nos indican el número de veces que debe ser multiplicado un número o expresión por sí mismo, ejemplos:<br />
<br />
$2^{5}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32$<br />
<br />
$3^{2}=3\cdot 3=9$<br />
<br />
$a^{4}=a\cdot a \cdot a\cdot a$<br />
<br />
$(b+3)^{3}=(b+3)\cdot (b+3)\cdot (b+3)$<br />
<br />
Existen también los exponentes negativos:<br />
<br />
<a name='more'></a><br />
<br />
$2^{-3}=\frac{2}{8}=\frac{1}{2^{3}}=0.125$<br />
<br />
$x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}$<br />
<br />
$(x+1)^{-2}=\frac{1}{(x+1)^{2}}$<br />
<br />
exponente 0:<br />
<br />
$x^{0}=1$<br />
<br />
$7^{0}=1$<br />
<br />
$z^{0}=1$<br />
<br />
$(x+3)^{0}=1$<br />
<br />
exponente fraccionario:<br />
<br />
$9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=3$<br />
<br />
$3^{\frac{3}{2}}=\sqrt{3^{3}}=\sqrt{27}$<br />
<br />
$2^{\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{2^{5}}$<br />
<br />
Los exponentes es una forma simplificada de escribir factores iguales que se multiplican muchas veces entre sí, existen leyes que se deben seguir al operar con los exponentes, puedes verlas <a href="http://dealgebra.blogspot.com/2013/08/ley-de-los-exponentes.html">aquí.</a></div>
Unknownnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-783389738615851354.post-76090428273310261162015-04-23T19:09:00.000-05:002017-02-23T18:04:12.019-06:00Solución problema de Cheryl<script src="https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
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<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Hace algunos días un problema se ha vuelto viral en las redes sociales es el de Cheryl y su cumpleaños, he encontrado una traducción al español del problema original que me parece buena y la compartiré:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9mNW0r3oYnWCVPpveXUalkFGCxM0SybXgNmhSvpvAFPx6cuWDFZuD4m5KcPMbiPRPs8YuJ_6us69XI9UpidgYjjMKd_nxn_PoIA5zmo3lUdWvM-BRxKtCU3X02Z44bBWdEujeW4VR149c/s1600/cheryl.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9mNW0r3oYnWCVPpveXUalkFGCxM0SybXgNmhSvpvAFPx6cuWDFZuD4m5KcPMbiPRPs8YuJ_6us69XI9UpidgYjjMKd_nxn_PoIA5zmo3lUdWvM-BRxKtCU3X02Z44bBWdEujeW4VR149c/s1600/cheryl.jpg" height="356" width="400"></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Ahora ya con el problema en la mente y con posibles estrategias a seguir vamos a resolverlo. Para empezar ¿Cómo se resuelve? ¿Qué estrategia se sigue? lo que usaremos será la conversación entre Albert y Bernard para sacar pistas de que día de las opciones que tenemos es el cumpleaños de Cheryl. Tras cada pista iremos eliminando opciones hasta dar con la verdadera.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Primero Albert dice lo siguiente:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
</div>
<a name='more'></a><br />
<blockquote class="tr_bq" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="background-color: #ffd966;">"No se cuando es el cumpleaños de Cheryl, pero sé que Bernard tampoco lo sabe."</span></blockquote>
La primera parte (No se cuando es el cumpleaños de Cheryl) en realidad no aporta nada nuevo pues es imposible que Albert lo sepa, lo único que sabe es el mes. En cambio la segunda parte del enunciado da mucha información. "Sé que Bernard tampoco lo sabe" pensemos en esto: ¿Existe alguna posibilidad de que sabiendo solo el día Bernard supiera la fecha exacta? Sí, en caso de que Cheryl cumpliera años el 19 de Mayo o el 18 de Junio Bernard sabría la fecha exacta pues el 18 y 19 solo aparecen una vez en la lista. Esto que acabamos de mencionar también lo sabe Albert y aún así dice que Bernard no sabe la fecha exacta, <span style="background-color: #93c47d;">esto solo puede ocurrir si el mes en que cumple años Cheryl no es ni Mayo ni Junio</span> (de otra manera Albert no podria estar 100% seguro que Bernard no sabe la fecha precisa, pues si el mes fuera Mayo o Junio existiría la posibilidad de que fuera el 18 o 19 respectivamente y Bernard podría saberlo).<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Después de analizar lo que dijo Albert desechamos Mayo y Junio solo nos quedan 5 opciones.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Bernard continúa con la conversación:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="background-color: #ffd966;">"Al principio no sabía cuando era el cumpleaños de Cheryl, pero ahora sí lo sé".</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="background-color: #ffd966;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="background-color: white;">Notemos que es como si dijera : "no lo sabía pero ahora con la información que me ha dado Albert ya lo sé". ¿Qué información nos dió Albert? pues que los meses no eran ni mayo ni Junio. De las 5 opciones que nos quedan ¿Existe una posibilidad de que Bernard sepa la fecha exacta? Sí, de hecho solo existe una forma de que no lo sepa si Cheryl cumpliera años el día 14 puesto que existen dos 14´s en las opciones que nos quedan. Esta parte de la conversación nos dice que </span><span style="background-color: #93c47d;">Cheryl no cumple años el día 14</span><span style="background-color: white;"> puesto que para que Bernard sepa la fecha exacta el día solo debe aparecer una ocasión en las opciones que nos quedan y el 14 aparece dos veces.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="background-color: white;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="background-color: white;">Repasemos lo que llevamos: Cheryl no cumple años ni en Mayo ni en Junio ni un día 14, las opciones que nos quedan son 16 de Julio, 15 de Agosto y 17 de Agosto.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="background-color: white;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="background-color: white;">Albert termina de esta manera la conversación:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="background-color: white;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="background-color: #ffd966;">"Entonces yo también sé cuando es el cumpleaños de Cheryl"</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="background-color: #ffd966;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="background-color: white;">De nuevo es como si Albert dijera: " con esta nueva información de Bernard ahora puedo saber la fecha", ¿Qué información dió Bernard? que Cheryl no cumple el día 14, con todo esto vamos a la parte final ¿Cuál es la única forma en que Albert pueda saber la fecha exacta? hay 2 opciones: </span><span style="background-color: #93c47d;">si Cheryl cumple años en Agosto entonces Albert no puede estar seguro de la fecha pues en Agosto nos quedan dos opciones el 15 o el 17 y dudaría entre una y otra</span><span style="background-color: white;">, la única forma en la que él puede estar seguro es que Cheryl cumpla en Julio pues solo hay una opción en ese mes, de ahí deducimos que </span><span style="background-color: #6fa8dc;">el cumpleaños de Cheryl es el 16 de Julio</span><span style="background-color: white;">. Espero que se haya entendido la explicación del problema y si les gustó compartan.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="background-color: white;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
</div>
Unknownnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-783389738615851354.post-66603162479636008752015-04-07T20:02:00.000-05:002017-03-23T15:48:51.957-06:00¿Cómo se multiplican las matrices? <div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
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displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ],
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});
</script>
<br />
<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Veamos algunos ejercicios resueltos de multiplicación de matrices para ver como se hace. La operación multiplicación usando matrices es un poco especial pues no todas las matrices pueden multiplicarse entre sí, así como es necesario que dos matrices sean del mismo tamaño para poder sumarlas o restarlas para que dos matrices puedan multiplicarse entre sí existe una condición:<br />
<span style="background-color: #ffd966;"><br /></span>
<br />
<blockquote class="tr_bq">
<span style="background-color: #ffd966;">"Para que dos matrices puedan multiplicarse entre sí el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz."</span></blockquote>
<br />
Entonces vamos a empezar con los ejemplos, veamos primero un ejemplo con vectores fila y vectores columna.<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$A=\begin {pmatrix} 2&3&6&7 \end {pmatrix}$ $B=\begin {pmatrix}7\\9\\2\\-5 \end {pmatrix}$</div>
<div style="text-align: center;">
</div>
<a name='more'></a><br />
<br />
<div style="text-align: left;">
Tenemos los vectores $A$ y $B$ que son matrices de tamaño $1\times 4$ y $4\times 1$ respectivamente, entonces la condición para multiplicarlas se cumple pues la primera tiene <u>4</u> columnas y <u>4</u> es el número de filas del segundo vector. El proceso de multiplicación es tomar la primera posición $A_{1,1}$ que es 2 y multiplicarla por la primera posición del segundo vector $B_{1,1}$ que es 7, tomar la segunda posición $A_{1,2}$ y multiplicarla por $B_{2,1}$, después $A_{1,3}$ por $B_{3,1}$ y finalmente multiplicar $A_{1,4}$ con $B_{4,1}$, todos los resultados de esas multiplicaciones los sumaremos:</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$A\times B=(2\cdot 7) + (3\cdot 9) + (6\cdot 2) + (7\cdot -5)$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$A\times B=14+27+12-35=18$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
El proceso multiplicar $A$ por $B$ en este ejemplo es una matriz $AB$ de tamaño $1\times1$ cuyo único elemento es $18$, <span style="background-color: #6fa8dc;">en general el resultado de la operación $A_{m\times n}\times B_{n\times p}$ es una matriz $AB_{m\times p}$</span>. Siguiente ejemplo:</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\begin {pmatrix} 4&5&6&7 \end {pmatrix} \cdot \begin {pmatrix} 3&-1\\5&0\\7&-4\\9&8 \end {pmatrix}=\begin {pmatrix} 142 & 28 \end {pmatrix}$ </div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Vamos paso a paso, primero tenemos dos matrices de tamaño $1\times 4$ y $4\times 2$, puesto que el número de columnas de la primera (4) es igual al número de filas de la segunda (4) podemos hacer la multiplicación, ahora ¿por qué el resultado es una matriz con dos elementos? puesto que según la parte resaltada de color celeste tendríamos una matriz resultado de tamaño <i>Numero de filas de la primera $\times$ Número de columnas de la segunda </i>es decir $1\times 2$<i>. </i>Los elementos de esta matriz resultado vienen dados por las siguientes operaciones según el proceso que ya vimos:</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$4\cdot 3 + 5\cdot 5 + 6\cdot 7 + 7\cdot 9=142$ </div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$4\cdot -1 + 5\cdot 0 + 6\cdot -4 + 7\cdot 8=28$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Siguiente ejemplo:</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$A\cdot B=\begin{pmatrix} 3&0&0\\2&5&0\\0&1&0 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} 3&1&1\\0&4&0\\1&1&1 \end {pmatrix}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Las operaciones son como siguen:</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$AB=\begin {pmatrix} 3\cdot 3+ 0 \cdot 0 + 0\cdot 1& 3\cdot 1+ 0\cdot 4 + 0\cdot 1& 3\cdot 1+ 0\cdot 0 + 0\cdot 0\\2\cdot 3+ 5\cdot 0 + 0\cdot 1& 2\cdot 1 +5\cdot 4+ 0\cdot 1& 2\cdot 1+ 5\cdot 0+0\cdot 1\\ 0\cdot 3+ 1\cdot 0 + 0\cdot 1&0\cdot 1+ 1\cdot 4+0\cdot 1& 0\cdot 1 + 1\cdot 0 + 0\cdot 1\end {pmatrix}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$AB=\begin{pmatrix}9&3&3\\6&22&2\\0&4&0 \end {pmatrix}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Hasta aquí hemos visto algunas cosas sobre multiplicación de matrices, por ejemplo al multiplicar un vector columna por un vector fila tenemos como resultado un solo elemento, además la matriz resultado de multiplicar dos matrices de tamaño $m\times n$ y $n\times p$ tendrá un tamaño de $m\times p$,y que la condición para que dos matrices puedan multiplicarse es que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda. Por último es necesario mencionar que $A\cdot B\neq B\cdot A$ es decir la multiplicación de matrices no es conmutativa.</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
</div>
</div>
Unknownnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-783389738615851354.post-25272374513527636182015-04-06T20:20:00.001-05:002017-03-23T15:46:47.660-06:00¿Cómo se multiplica una matriz por un escalar?<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
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</script>
<br />
<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
En la presente entrada se verán ejercicios resueltos de un escalar que multiplica a una matriz. Multiplicar una matriz por un escalar en un proceso bastante sencillo, imaginemos la matriz llamada $A$ como el siguiente arreglo de dos dimensiones:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$\begin{pmatrix}4 &5 &6 \\ -3 &0 & 9\end{pmatrix}$</div>
<br />
Ahora vamos a multiplicarlo por un escalar digamos $3$:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$3\begin{pmatrix}4 &5 &6 \\ -3 &0 & 9\end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix}3(4) &3(5) &3(6) \\ 3(-3) &3(0) & 3(9)\end{pmatrix}$ </div>
<br />
Como puede observarse cada posición se multiplica individualmente por el escalar escogido, dando como resultado:<br />
<br />
<a name='more'></a><br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$\begin{pmatrix}12 &15 &18 \\ -9 &0 & 27\end{pmatrix}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Es fácil notar que la división sigue el mismo procedimiento, pues dividir una matriz por un número digamos $p$ es lo mismo que multiplicarlo por $\frac{1}{p}$, digamos que multiplicamos nuestra matriz $A$ por $\frac{1}{p}$:</div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;">$\begin{pmatrix}\frac{4}{p} &\frac{5}{p} &\frac{6}{p} \\ \frac{-3}{p} &\frac{0}{p} & \frac{9}{p}\end{pmatrix}$</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;"> Si $p=3$ entonces la matriz $A$ quedaría:</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<span style="text-align: center;">$\begin{pmatrix}\frac{4}{3} &\frac{5}{3} &2 \\ -1 &0 & 3\end{pmatrix}$</span><br />
<span style="text-align: center;"><br /></span>
<span style="text-align: center;"> Lo mismo puede aplicarse a un vector pues en realidad es una matriz, ejemplo:</span><br />
<span style="text-align: center;"><br /></span>
<br />
<div style="text-align: center;">
$5\begin{pmatrix}4 & 6 &8 &1 & 3\end{pmatrix}=\begin {pmatrix}20&30&40&5&15\end{pmatrix}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
O un vector columna:</div>
<div style="text-align: center;">
$3\begin{pmatrix}1\\2\\3\\-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\6\\9\\-27\end{pmatrix}$</div>
<div>
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
</div>
</div>
Unknownnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-783389738615851354.post-49892509713452886322015-04-04T19:23:00.000-06:002017-03-23T15:45:18.542-06:00¿Cómo sumar y restar matrices?<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
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<br />
<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Las operaciones que se pueden hacer con las matrices son varias, vamos a centrarnos en esta entrada en la suma y resta de matrices, para hacerlo se verán ejercicios resueltos de suma y resta de matrices. Antes de explicar el procedimiento a seguir se debe tener en cuenta que para poder sumar o restar matrices existe una condición:<br />
<br />
<blockquote class="tr_bq" style="text-align: left;">
<span style="background-color: #ffd966;">"Para sumar matrices ambas deben tener el mismo tamaño, es decir el número de filas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda y </span><span style="background-color: #ffd966;">el número de columnas de la primera debe ser igual al número de columnas de la segunda.</span><span style="background-color: #ffd966;">"</span></blockquote>
<br />
Si la condición se cumple entonces podemos sumarlas o restarlas, para dejar más claro el asunto veamos un ejemplo, de las matrices que aparecen abajo $A$ se puede sumar con $B$ pero no con $C$ o $D$, $C$ y $D$ si pueden sumarse entre sí:<br />
<br />
<a name='more'></a><br />
<br />
$A=\begin{pmatrix}1 &2 &-3 \\ 3& 6 &9 \\ -2& 4 &6 \end{pmatrix}$ $B=\begin{pmatrix}1 &3 &5 \\ 7& 11 &4 \\ 21& 17 &\frac{1}{3} \end{pmatrix}$ $C=\begin{pmatrix}3 &5 \\ 0 &4 \\ 13 & 9\end{pmatrix}$ $D=\begin{pmatrix}-2 & \frac{1}{4} \\ 29 &15 \\ 64 & 43\end{pmatrix}$<br />
<br />
Vamos a sumar la matriz $A$ con la matriz $B$:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$\begin{pmatrix}1 &2 &-3 \\ 3& 6 &9 \\ -2& 4 &6 \end{pmatrix}+$ $\begin{pmatrix}1 &3 &5 \\ 7& 11 &4 \\ 21& 17 &\frac{1}{3} \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix}1+1 &2+3 &-3+5 \\ 3+7& 6+11 &9+4 \\ -2+21& 4+17 & \frac{18}{3}+\frac{1}{3}\end{pmatrix}$</div>
<br />
Como vemos la matriz es el resultado de sumar los elementos en las mismas posiciones entre sí, ya sumados quedaría:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$\begin{pmatrix}2 &5 &2 \\ 10& 17 &13 \\ 19& 21 & \frac{19}{3}\end{pmatrix}$</div>
<br />
Hagamos ahora un ejemplo de resta de matrices, usando las matrices $C$ y $D$:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$\begin{pmatrix}3 &5 \\ 0 &4 \\ 13 & 9\end{pmatrix}-$ $\begin{pmatrix}-2 & \frac{1}{4} \\ 29 &15 \\ 64 & 43\end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix}3-(-2) &5- \frac{1}{4}\\ 0-29 &4-15 \\ 13-64 & 9-43\end{pmatrix}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Y el resultado haciendo las operaciones sería:</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\begin{pmatrix}5 & \frac{19}{4}\\ -29 &-11 \\ -51 & -34\end{pmatrix}$<br />
<br />
<div style="text-align: left;">
Recordemos que para sumar o restar las matrices deben tener el mismo tamaño, y los elementos en las mismas posiciones se suman o restan entre sí, se puede poner de esta forma: el elemento $a_{1,1}$ se suma con $b_{1,1}$, $a_{1,2}$ se suma con $b_{1,2}$ y en general $a_{j,i}$ se suma con $b_{j,i}$ para dos matrices $A$ y $B$. Para más información sobre notación de matrices vé <a href="http://dealgebra.blogspot.com/2015/04/matriz-definicion.html" target="_blank"><span style="color: black;">esta </span></a>entrada.</div>
</div>
<div>
<br /></div>
</div>
</div>
Unknownnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-783389738615851354.post-35598719194614919292015-04-02T17:06:00.000-06:002017-03-23T15:43:53.891-06:00¿Qué es una matriz en álgebra Lineal?<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
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<br />
<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Una matriz es un arreglo de elementos que pueden ser números o expresiones y que es en dos dimensiones, eso quiere decir que está formada por filas y columnas, el siguiente es un ejemplo de una matriz:<br />
<div>
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$\begin{pmatrix}4 & 3 & 2\\ 1 & 5 & 6\end{pmatrix}$</div>
<div>
<br /></div>
<div>
La matriz anterior es una matriz compuesta de $2$ filas y $3$ columnas es una matriz de dimensión $2\times 3$, en general una matriz de $n$ filas y $m$ columnas es de dimensión $n\times m$ también se le puede decir tamaño de una matriz. Si el número de filas es igual al número de columnas entonces es una matriz cuadrada $n=m$.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<b>Posiciones</b></div>
<div style="text-align: center;">
<b><br /></b></div>
<div>
Como está compuesta por elementos diferentes necesitamos una manera de identificarlos a cada uno por separado, existe una notación que se vale de las filas y columnas para establecer la posición dentro de la matriz a la que nos referimos, por ejemplo supongamos que la matriz anterior tienen por nombre A:<br />
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$A=\begin{pmatrix}4 & 3 & 2\\ 1 & 5 & 6\end{pmatrix}$</div>
<div>
<br />
<a name='more'></a><br /></div>
<div>
Entonces $A_{2,3}$ se refiere a la matriz $A$ en la fila $2$ y la columna $3$, en esta posición encontramos el elemento $6$, otro ejemplo usando la misma matriz es saber como podemos identificar el número $3$ usando nuestra notación, como el $3$ se encuentra en la primera fila y en la segunda columna la posición de nuestro elemento en la matriz $A$ sería $A_{1,2}$. $A_{i,j}$ define el elemento en la fila $i$ y columna $j$. </div>
<div>
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$A=\begin{pmatrix}a_{1,1} &a_{1,2} &a_{1,3} \\ a_{2,1} &a_{2,2} &a_{2,3} \\ a_{3,1} &a_{3,2} & a_{3,3}\end{pmatrix}$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<b>Vectores</b></div>
<div style="text-align: center;">
<b><br /></b></div>
<div style="text-align: left;">
Los vectores también son matrices pero un caso especial en el que alguna dimensión sea $1$, por ejemplo 1 fila y $m$ columnas o $n$ filas y 1 columna. En el caso de ser una fila y varias columnas se le llama vector fila $1\times m$ en caso de ser $n$ filas y una columna es vector columna $n\times 1$. Ejemplos:</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<b>Vector fila </b>$\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 &5 \end{pmatrix}$</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<b>Vector columna </b>$\begin{pmatrix}3\\ 4\\ 5\\ 6\end{pmatrix}$</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<b>Matrices iguales</b></div>
<div style="text-align: center;">
<b><br /></b></div>
<div style="text-align: left;">
Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y los mismos elementos en las mismas posiciones.</div>
</div>
</div>
Unknownnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-783389738615851354.post-76227019385394535582014-08-13T17:27:00.001-05:002014-08-13T17:34:17.343-05:00Video ecuaciones de segundo grado con una incógnita<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Para repasar algo sobre las ecuaciones de segundo grado y como resolverlas les dejo un video que he encontrado en vimeo:<br />
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: center;">
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="375" mozallowfullscreen="" src="//player.vimeo.com/video/36110407" webkitallowfullscreen="" width="500"></iframe> </div>
<br />
<br /></div>
</div>
Unknownnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-783389738615851354.post-66390960189641964822014-08-13T17:08:00.000-05:002017-02-23T18:05:43.811-06:00Ecuaciones de segundo grado con una incógnita<script src="https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
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<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Son las ecuaciones en las que el mayor exponente de los términos es $2$ ejemplo:<br />
<br />
$x^{2}+6x+7=0$<br />
<br />
es una ecuación de segundo grado. Las siguientes ecuaciones también son de segundo grado pero se les llaman incompletas por una razón:<br />
<br />
$x^{2}+7=0$<br />
<br />
$x^{2}+6x=0$<br />
<br />
les falta un término (en $x$ o el término independiente).<br />
<br />
<b>Raíces</b><br />
<b><br /></b>
Las raíces de una ecuación son los valores dados a la incógnita y que satisfacen la igualdad.<br />
<br />
<a name='more'></a><br />
<br />
Las raíces de $x^{2}-2x-3=0$ son $x=3$ y $x=-1$ pues ambos valores satisfacen la igualdad al sustituir a la incógnita en la ecuación original.<br />
<br />
La siguiente fórmula nos da las raíces de una ecuación cuadrática :<br />
<br />
$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$<br />
<br />
Se le conoce como fórmula cuadrática. El signo $\pm $ nos indica que en realidad tendremos dos resultados, el primer resultado lo obtenemos usando el signo $+$ en la fórmula en vez de $\pm $ y el segundo resultado se obtendrá usando $-$ en vez de $\pm $ es decir tenemos las siguientes dos fórmulas:<br />
<br />
$x_{1}=\frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$<br />
<br />
$x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$<br />
<br />
El valor de $a$ es igual al coeficiente del término cuadrático, el valor de $b$ es igual al coeficiente de la incógnita con exponente uno (en este caso de $x$) y $c$ es igual al término independiente (el número que sobra).<br />
<br />
<b>Ejemplo resuelto </b><br />
<b><br /></b>
$3x^{2}-5x+2=0$ $a=3$, $b=-5$ y $c=2$<br />
<br />
Sustituimos en la fórmula cuadrática para obtener las raíces:<br />
<br />
$x_{1}=\frac{-(-5)+ \sqrt{(-5)^{2}-4(3)(2)}}{2(3)}$<br />
<br />
$x_{1}=\frac{5+ \sqrt{25-24}}{6}$<br />
<br />
$x_{1}=\frac{5+ \sqrt{1}}{6}$<br />
<br />
$x_{1}=\frac{5+ 1}{6}=1$<br />
<br />
<br />
$x_{2}=\frac{-(-5)-\sqrt{(-5)^{2}-4(3)(2)}}{2(3)}$<br />
<br />
$x_{2}=\frac{5-\sqrt{25-24}}{6}$<br />
<br />
$x_{2}=\frac{5-\sqrt{1}}{6}$<br />
<br />
$x_{2}=\frac{5-1}{6}=\frac{2}{3}$<br />
<br />
Entonces $x_{1}=1$ y $x_{2}=\frac{2}{3}$.<br />
<br />
<b>Ejercicios</b><br />
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: right; margin-left: 1em; text-align: right;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><span style="clear: right; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><a href="http://dealgebra.blogspot.com/2014/08/video-ecuaciones-de-segundo-grado-con.html" target="_blank"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBWd0vsktKSOvkB8xNjgfu2E8irxU-Nq6A6PBr-RwtHk8nMF94Fe3YJIGhy3Pwy0xHsr9nJ2_w6dsWi15QuH0dQ4p01rs4fCB_acR3Zw6gy3y33eCWadrUng4nmtmiQbNkq5eR-JNYAemK/s1600/video.png" /></a></span></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="http://dealgebra.blogspot.com/2014/08/video-ecuaciones-de-segundo-grado-con.html" target="_blank">Video ecuaciones de segundo grado</a></td></tr>
</tbody></table>
<b><br /></b>
$5x^{2}-7x-90=0$<br />
<br />
$32x^{2}+18x-17=0$<br />
<br />
$x+11=10x^{2}$<br />
<br />
$105=x+2x^{2}$<br />
<br />
<br /></div>
Unknownnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-783389738615851354.post-13395690431618574062014-08-13T13:39:00.000-05:002014-08-13T17:34:39.204-05:00Video de suma y resta de términos semejantes<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
De los muchos videos que encontramos por internet explicando un poco sobre términos semejantes me parece que este es digno de mención, las ideas son claras sobre lo que son términos semejantes y con un lenguaje sencillo. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<a name='more'></a><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/En6Xz6gyZT4?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div>
<br /></div>
Unknownnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-783389738615851354.post-64707395705546481712014-03-11T19:16:00.000-06:002017-02-23T18:06:12.246-06:00Paquetería y matemáticas<script src="https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
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<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Hace poco compré unos libros y un reloj en amazon, la diferencia del tiempo de entrega fue grande, mientras que los libros tardaron una semana el reloj solo un par de días. Independientemente de que los paquetes quedaron dentro del tiempo de entrega estimado me quedé pensando en el problema que tienen las compañías de paquetería a la hora de elegir las rutas más rápidas. En una entrega internacional al principio no hay mucho problema pues no hay muchas rutas para llegar de una ciudad a otra y es fácil ver cual es la más conveniente, el problema viene cuando intentamos buscar la mejor ruta para entregar no uno sino muchos paquetes dentro de una ciudad, pues las rutas posibles se disparan (la forma en la que las matemáticas abordan el problema es utilizando la teoría de grafos).<br />
<br />
<b>UPS y su sistema de entrega</b><br />
<b> </b><br />
<a name='more'></a><b> </b><br />
Sin duda las grandes compañías de algún modo u otro necesitan de las matemáticas para funcionar eficientemente pero algunas dependen más de ellas. UPS es una compañía internacional de paquetería y como es de esperarse tienen sistemas para mejorar sus procesos, pero es un sistema el que realmente es interesante desde el punto de vista matemático. Imaginemos que tenemos que entregar 100 paquetes dentro de una ciudad, ¿Cómo le haríamos para calcular la mejor ruta? alguien pudiera decir bueno es sencillo solo es calcular todas las rutas y escoger la más rápida (notemos que no solo es la distancia más corta hay que tener en cuenta también el tráfico y otras cosas por el estilo). Bien si quisiéramos hacer esto hay un "pequeño" problema, el número de rutas posibles es enorme. Para este ejemplo tenemos que el número de rutas posibles es $(100)(99)(98)(97)(96)\cdots (1)$ que es la multiplicación de los primeros 100 números!, una monstruosidad, por poner una comparación este número es más grande que la edad que tiene la tierra medida en segundos.<br />
<br />
<b><br /></b>
<b>ORION</b><br />
<b> </b><br />
ORION (<span style="color: #333333; font-family: Arial, Verdana, sans-serif;"><span style="background-color: white; font-size: 14px; line-height: 20px;">On-Road Integrated Optimization and Navigation</span></span>) es el sistema encargado de lidiar con este problema. Entonces ¿qué método utiliza ORION para que la compañía no pierda millones de dolares en gasolina, mantenimiento y muchas otras cosas cada año? Es un método mixto. Para empezar hace uso de muchos algoritmos para obtener un puñado de rutas que son más buenas que malas, combina esto con la experiencia de los conductores al ofrecer las rutas y dejar que tomen decisiones, se retroalimenta es decir se vale de las rutas anteriores en su base de datos en su proceso de selección y las rutas resultantes las vuelve a almacenar en su base de datos para obtener mejores resultados en el futuro. Gracias a este sistema la compañía paquetera puede obtener grandes beneficios, a continuación algunos datos interesantes:<br />
<br />
<br />
<ul style="text-align: left;">
<li>30 millones de dolares por año se ahorra la compañía si cada conductor encuentra la forma de ahorrarse una milla diaria.</li>
<li>85 millones de millas al año es lo que dicen los propietarios de UPS se ahorran por usar ORION.</li>
<li>75 cm es lo más que un vehículo se debe mover antes de saber cual es la próxima entrega, esto se logra gracias a que desde la salida llevan cargados los paquetes en el orden en el que serán entregados.</li>
<li>16 millones de entregas diarias.</li>
</ul>
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<br /></div>
<div>
ORION es sin duda un sistema asombroso, pero no es más que otra muestra de que las matemáticas están en todos lados y todos nos beneficiamos de ellas.</div>
</div>
Unknownnoreply@blogger.com