Son las ecuaciones en las que el mayor exponente de los términos es $2$ ejemplo:
$x^{2}+6x+7=0$
es una ecuación de segundo grado. Las siguientes ecuaciones también son de segundo grado pero se les llaman incompletas por una razón:
$x^{2}+7=0$
$x^{2}+6x=0$
les falta un término (en $x$ o el término independiente).
Raíces
Las raíces de una ecuación son los valores dados a la incógnita y que satisfacen la igualdad.
Las raíces de $x^{2}-2x-3=0$ son $x=3$ y $x=-1$ pues ambos valores satisfacen la igualdad al sustituir a la incógnita en la ecuación original.
La siguiente fórmula nos da las raíces de una ecuación cuadrática :
$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
Se le conoce como fórmula cuadrática. El signo $\pm $ nos indica que en realidad tendremos dos resultados, el primer resultado lo obtenemos usando el signo $+$ en la fórmula en vez de $\pm $ y el segundo resultado se obtendrá usando $-$ en vez de $\pm $ es decir tenemos las siguientes dos fórmulas:
$x_{1}=\frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
El valor de $a$ es igual al coeficiente del término cuadrático, el valor de $b$ es igual al coeficiente de la incógnita con exponente uno (en este caso de $x$) y $c$ es igual al término independiente (el número que sobra).
Ejemplo resuelto
$3x^{2}-5x+2=0$ $a=3$, $b=-5$ y $c=2$
Sustituimos en la fórmula cuadrática para obtener las raíces:
$x_{1}=\frac{-(-5)+ \sqrt{(-5)^{2}-4(3)(2)}}{2(3)}$
$x_{1}=\frac{5+ \sqrt{25-24}}{6}$
$x_{1}=\frac{5+ \sqrt{1}}{6}$
$x_{1}=\frac{5+ 1}{6}=1$
$x_{2}=\frac{-(-5)-\sqrt{(-5)^{2}-4(3)(2)}}{2(3)}$
$x_{2}=\frac{5-\sqrt{25-24}}{6}$
$x_{2}=\frac{5-\sqrt{1}}{6}$
$x_{2}=\frac{5-1}{6}=\frac{2}{3}$
Entonces $x_{1}=1$ y $x_{2}=\frac{2}{3}$.
Ejercicios
$5x^{2}-7x-90=0$
$32x^{2}+18x-17=0$
$x+11=10x^{2}$
$105=x+2x^{2}$
$x^{2}+6x+7=0$
es una ecuación de segundo grado. Las siguientes ecuaciones también son de segundo grado pero se les llaman incompletas por una razón:
$x^{2}+7=0$
$x^{2}+6x=0$
les falta un término (en $x$ o el término independiente).
Raíces
Las raíces de una ecuación son los valores dados a la incógnita y que satisfacen la igualdad.
Las raíces de $x^{2}-2x-3=0$ son $x=3$ y $x=-1$ pues ambos valores satisfacen la igualdad al sustituir a la incógnita en la ecuación original.
La siguiente fórmula nos da las raíces de una ecuación cuadrática :
$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
Se le conoce como fórmula cuadrática. El signo $\pm $ nos indica que en realidad tendremos dos resultados, el primer resultado lo obtenemos usando el signo $+$ en la fórmula en vez de $\pm $ y el segundo resultado se obtendrá usando $-$ en vez de $\pm $ es decir tenemos las siguientes dos fórmulas:
$x_{1}=\frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
El valor de $a$ es igual al coeficiente del término cuadrático, el valor de $b$ es igual al coeficiente de la incógnita con exponente uno (en este caso de $x$) y $c$ es igual al término independiente (el número que sobra).
Ejemplo resuelto
$3x^{2}-5x+2=0$ $a=3$, $b=-5$ y $c=2$
Sustituimos en la fórmula cuadrática para obtener las raíces:
$x_{1}=\frac{-(-5)+ \sqrt{(-5)^{2}-4(3)(2)}}{2(3)}$
$x_{1}=\frac{5+ \sqrt{25-24}}{6}$
$x_{1}=\frac{5+ \sqrt{1}}{6}$
$x_{1}=\frac{5+ 1}{6}=1$
$x_{2}=\frac{-(-5)-\sqrt{(-5)^{2}-4(3)(2)}}{2(3)}$
$x_{2}=\frac{5-\sqrt{25-24}}{6}$
$x_{2}=\frac{5-\sqrt{1}}{6}$
$x_{2}=\frac{5-1}{6}=\frac{2}{3}$
Entonces $x_{1}=1$ y $x_{2}=\frac{2}{3}$.
Ejercicios
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| Video ecuaciones de segundo grado |
$5x^{2}-7x-90=0$
$32x^{2}+18x-17=0$
$x+11=10x^{2}$
$105=x+2x^{2}$
