Ecuaciones de segundo grado con una incógnita

     Son las ecuaciones en las que el mayor exponente de los términos es $2$ ejemplo:

$x^{2}+6x+7=0$

    es una ecuación de segundo grado. Las siguientes ecuaciones también son de segundo grado pero se les llaman incompletas por una razón:

$x^{2}+7=0$

$x^{2}+6x=0$

     les falta un término (en $x$ o el término independiente).

Raíces

      Las raíces de una ecuación son los valores dados a la incógnita y que satisfacen la igualdad.



Las raíces de $x^{2}-2x-3=0$ son  $x=3$ y $x=-1$ pues ambos valores satisfacen la igualdad al sustituir a la incógnita en la ecuación original.

La siguiente fórmula nos da las raíces de una ecuación cuadrática :

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Se le conoce como fórmula cuadrática. El signo $\pm$ nos indica que en realidad tendremos dos resultados, el primer resultado lo obtenemos usando el signo $+$ en la fórmula en vez de $\pm$ y el segundo resultado se obtendrá usando $-$ en vez de $\pm$ es decir tenemos las siguientes dos fórmulas:

$x_{1}=\frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

El valor de $a$ es igual al coeficiente del término cuadrático, el valor de $b$ es igual al coeficiente de la incógnita con exponente uno (en este caso de $x$) y $c$ es igual al término independiente (el número que sobra).

Ejemplo resuelto 

$3x^{2}-5x+2=0$        $a=3$, $b=-5$ y $c=2$

Sustituimos en la fórmula cuadrática para obtener las raíces:

$x_{1}=\frac{-(-5)+ \sqrt{(-5)^{2}-4(3)(2)}}{2(3)}$

$x_{1}=\frac{5+ \sqrt{25-24}}{6}$

$x_{1}=\frac{5+ \sqrt{1}}{6}$

$x_{1}=\frac{5+ 1}{6}=1$


$x_{2}=\frac{-(-5)-\sqrt{(-5)^{2}-4(3)(2)}}{2(3)}$

$x_{2}=\frac{5-\sqrt{25-24}}{6}$

$x_{2}=\frac{5-\sqrt{1}}{6}$

$x_{2}=\frac{5-1}{6}=\frac{2}{3}$

Entonces $x_{1}=1$ y $x_{2}=\frac{2}{3}$.

Ejercicios

Video ecuaciones de segundo grado

$5x^{2}-7x-90=0$

$32x^{2}+18x-17=0$

$x+11=10x^{2}$

$105=x+2x^{2}$