Si tuvieron la oportunidad de leer la adaptación de la historia del ajedrez (sino pueden leerla aquí) tal vez les resulte interesante saber que la última parte esta muy relacionada con un tema de álgebra, en seguida veremos porqué. Empecemos con la siguiente parte que dice:
“Está bien. Si al presidente de verdad le parece bien, que se preste atención al tablero de este humilde juego. Sólo tiene 64 casillas. Por favor, que se me otorgue un grano de maíz por la primera casilla, dos por la segunda, cuatro por la tercera, y así, que se vaya doblando la cantidad en cada casilla hasta que lleguemos a la 64.”
Algo muy humilde de parte del genio mexicano ¿no?, si hacemos una breve lista con los números correspondientes a las 10 primeras casillas tenemos:
Un momento, ¿el maíz correspondiente a la casilla 64? Sí, pero recordemos que el pequeño genio pedía la suma de todas las casillas, no solo la última, mmm hombre listo después de todo.
Pero ¿donde está el álgebra en todo esto que hemos dicho? ¿De verdad nos serviría en este problema? Imaginemos que queremos hacer la suma de todas las casillas, primero tenemos que saber cuanto vale cada una ¿no? y después sumar todas las casillas para obtener el total, algo tedioso. ¿Hay otra forma de hacerlo, sin hacer tantas sumas? Existe y lo que pudieron hacer el ministro de finanzas y sus ayudantes fue que una vez sacado el número correspondiente a la casilla 64 volver a duplicar ese número y restarle uno. ¿Por qué? ¿Cómo funciona el truco?
Veamos de nuevo la lista del principio donde pusimos la cantidad de granos correspondiente a las primeras 10 casillas:
Nuestra serie está compuesta por el número 2 elevado a una potencia. El primer término es $2^{0}$, el segundo $2^{1}$, el tercero $2^{2}$ y así sucesivamente, el último término es $2^{63}$, entonces nuestra hipótesis descrita en el párrafo anterior es:
¿Cómo llegar hasta ese punto? Bueno vamos a usar un truco, toda la parte izquierda la vamos a multiplicar por 1, aunque parezca algo tonto muchas veces es útil multiplicar por 1, sabemos que todo lo que multipliquemos por 1 nos dará la misma cantidad, pero vamos a hacerlo así:
Efectivamente lo que hemos hecho es multiplicar por 1 el lado izquierdo ($2^{1}=2$ por lo tanto $2^{1}-1=1$), pero se ha hecho de una forma no tan obvia. En este punto tenemos que multiplicar nuestra serie por $2^{1}-1$ que significa lo siguiente: primer paso multiplicar todos los elementos de nuestra serie por $2^{1}$, segundo paso multiplicar cada elemento por $-1$ y tercer paso sumar ambos resultados.
Primer paso
Una ley básica de exponentes nos dice que al multiplicar dos bases iguales (en nuestro caso 2 es la base) el resultado es la misma base pero sumamos los exponentes, entonces $(2^{1})(2^{0})=2^{1+0}=2^{1}$, $(2^{1})(2^{1})=2^{1+1}=2^{2}$, $(2^{1})(2^{2})=2^{1+2}=2^{3}$, etc. quedando nuestro primer paso:
“Está bien. Si al presidente de verdad le parece bien, que se preste atención al tablero de este humilde juego. Sólo tiene 64 casillas. Por favor, que se me otorgue un grano de maíz por la primera casilla, dos por la segunda, cuatro por la tercera, y así, que se vaya doblando la cantidad en cada casilla hasta que lleguemos a la 64.”
Algo muy humilde de parte del genio mexicano ¿no?, si hacemos una breve lista con los números correspondientes a las 10 primeras casillas tenemos:
$1$, $2$, $4$, $8$, $16$, $32$, $64$, $128$, $256$, $512$
Así que podemos llegar a pensar que el número resultante de la casilla 64 será algo grande pero nada que impresione, y con la suma de todas las casillas pasaría lo mismo. Pero lo cierto es que el último número es uno muy grande, lo pongo a continuación:
$9223372036854775808$
Ahora que significa realmente este número, que tan grande es o mejor dicho que cantidad representa (pues de longitud solo tiene 19 dígitos). Veamos algunas analogías para tener una idea más clara.
- El número de toneladas de maíz sería algo como $3228180212600$, no muy claro todavía ¿verdad?
- Si se reparte todo el maíz de tal manera que a cada persona en el mundo (suponiendo 8000 millones de habitantes) tuviese la misma cantidad, le tocarían $403$ toneladas a cada una.
- Uniendo los granos de maíz por su lado más largo formarían una linea que le daría $2301527644$ vueltas a la tierra.
- Basándonos en la supuesta de que cada mexicano come alrededor de 500 gramos de maíz en forma de tortilla diariamente tendríamos que todo el maíz correspondiente a la casilla 64 sería suficiente para alimentarnos a cada uno durante miles de años, algo así como 160 milenios.
Un momento, ¿el maíz correspondiente a la casilla 64? Sí, pero recordemos que el pequeño genio pedía la suma de todas las casillas, no solo la última, mmm hombre listo después de todo.
Pero ¿donde está el álgebra en todo esto que hemos dicho? ¿De verdad nos serviría en este problema? Imaginemos que queremos hacer la suma de todas las casillas, primero tenemos que saber cuanto vale cada una ¿no? y después sumar todas las casillas para obtener el total, algo tedioso. ¿Hay otra forma de hacerlo, sin hacer tantas sumas? Existe y lo que pudieron hacer el ministro de finanzas y sus ayudantes fue que una vez sacado el número correspondiente a la casilla 64 volver a duplicar ese número y restarle uno. ¿Por qué? ¿Cómo funciona el truco?
Veamos de nuevo la lista del principio donde pusimos la cantidad de granos correspondiente a las primeras 10 casillas:
$1$, $2$, $4$, $8$, $16$, $32$, $64$, $128$, $256$, $512$
La suma de los tres primero términos de esta serie es 7 que es lo mismo que 8 - 1 (es decir el cuarto término menos uno). La suma de los primeros 9 términos es igual a 511 (de nuevo el décimo término menos uno). Así que la suma de los primeros 64 términos de la serie debería ser el término 65 menos 1.
Descripción de la serie
Nuestra serie está compuesta por el número 2 elevado a una potencia. El primer término es $2^{0}$, el segundo $2^{1}$, el tercero $2^{2}$ y así sucesivamente, el último término es $2^{63}$, entonces nuestra hipótesis descrita en el párrafo anterior es:
¿Cómo llegar hasta ese punto? Bueno vamos a usar un truco, toda la parte izquierda la vamos a multiplicar por 1, aunque parezca algo tonto muchas veces es útil multiplicar por 1, sabemos que todo lo que multipliquemos por 1 nos dará la misma cantidad, pero vamos a hacerlo así:
Efectivamente lo que hemos hecho es multiplicar por 1 el lado izquierdo ($2^{1}=2$ por lo tanto $2^{1}-1=1$), pero se ha hecho de una forma no tan obvia. En este punto tenemos que multiplicar nuestra serie por $2^{1}-1$ que significa lo siguiente: primer paso multiplicar todos los elementos de nuestra serie por $2^{1}$, segundo paso multiplicar cada elemento por $-1$ y tercer paso sumar ambos resultados.
Primer paso
Una ley básica de exponentes nos dice que al multiplicar dos bases iguales (en nuestro caso 2 es la base) el resultado es la misma base pero sumamos los exponentes, entonces $(2^{1})(2^{0})=2^{1+0}=2^{1}$, $(2^{1})(2^{1})=2^{1+1}=2^{2}$, $(2^{1})(2^{2})=2^{1+2}=2^{3}$, etc. quedando nuestro primer paso:
Segundo paso
Multiplicar todos los términos por -1 ejemplo $(-1)(2^{0})=-2^{0}$ por eso quedaría:
Tercer paso
Por último sumar ambos resultados, los vamos a acomodar de esta forma:
Con este acomodo es fácil ver que la mayoría de los términos al sumarlos nos dan 0 quedándonos al final $-2^{0}+2^{64}=2^{64}-1$ que es lo que queríamos probar. Pero aún así con este método tenemos que saber el valor de la casilla 64, reduzcamos más la solución, usando factorización en la diferencia de cuadrados, y por factorizar aquí nos referimos a convertir una suma en producto:
$2^{64}-1=(2^{32}+1)(2^{32}-1)$ pero:
$2^{32}-1=(2^{16}+1)(2^{16}-1)$ y:
$2^{16}-1=(2^{8}+1)(2^{8}-1)$
Poniendo todo en orden : $2^{64}-1=(2^{32}+1)(2^{16}+1)(2^{8}+1)(2^{8}-1)$
Una vez así todo lo que necesitaba saber el ministro de finanzas era sacar el número de la novena casilla, que según nuestra lista inicial es el $256$ de ahí solo le quedaba multiplicar.
Nota final
La serie que vimos es una serie de potencias, la siguiente ecuación podemos usarla para series parecidas:
$x^{0}+x^{1}+x^{2}+x^{3}+ \cdots +x^{n}=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$
1 comentario:
guau! super interesante!!!
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