Binomio al cubo

     Elevemos  el binomio $(a+b)$ al cubo, sabemos que esto significa multiplicar tres veces el mismo binomio esto es $(a+b)(a+b)(a+b)$ pero podemos agruparlo como sigue $(a+b)^{2}(a+b)$ ahora aplicando la regla del binomio al cuadrado al primer término nos quedaría:

$(a^{2}+2ab+b^{2})(a+b)$

ahora para conocer el resultado multipliquemos el primer factor por $a$ luego por $b$  y al final sumamos los resultados dados:

$(a^{2}+2ab+b^{2})(a)=a^{3}+2a^{2}b+ab^{2}$

$(a^{2}+2ab+b^{2})(b)=a^{2}b+2ab^{2}+b^{3}$ 

sumamos:

$a^{3}+2a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b+2ab^{2}+b^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

por lo tanto:

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

Hemos hallado la siguiente regla:

"El cubo de la suma de dos cantidades es igual a el cubo de la primera cantidad más tres veces el cuadrado de la primera por la segunda, más tres veces la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda cantidad"


Veamos algunos ejemplos aplicando la regla, desarrollar $(2z+3)^{3}$

Primero separemos las cantidades, nuestro primer término es $2z$ y el segundo $3$, según la regla debemos obtener "el cubo de la primera cantidad":

$(2z)^{3}=8z^{3}$

después tenemos "tres veces el cuadrado de la primera por la segunda":

$9(4z^{2})=36z^{2}$

seguimos con "tres veces la primera por el cuadrado de la segunda":

$27(2z)=54z$

y por último "el cubo de la segunda cantidad":

$(3)^{3}=27$

Sumamos todo:

\[(2z+3)^{3}=8z^{3}+36z^{2}+54z+27\]

Ejercicios para practicar:

$(x-2)^3$

$(4f-2x)^3$

$(\frac{3}{4}b-e^{3})^{3}$

$(3+2m^{n})^{3}$

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