Algebra: Ecuaciones diofantinas

Este es el primer artículo dentro de la categoría "Teoría de números", la teoría de números es la que estudia las propiedades de los números enteros y cualquier problema que surja de ellos. Así por ejemplo en una ecuación estaremos interesados en las soluciones enteras y dejamos fuera todas las demás. El conjunto de enteros es $\mathbb{Z}=\left \{ ...,-2,-1,0,1,2,... \right \}$ y cuando estemos en teoría de números imaginemos que no existen ni decimales, ni racionales, ni ningún otro tipo, solo enteros, en cierta forma es como cuando eramos niños.

Como ya hemos visto algo de ecuaciones de primer grado el tema de ecuaciones diofantinas puede ser un buen comienzo para abrir con teoría de números. ¿Qué es una ecuación diofantina? Es una ecuación de primer grado con dos incógnitas y coeficientes enteros, ejemplo:

Siendo $a$, $b$ y $c$ enteros el caso general es:

Ahora concentrémonos en encontrar una solución a la primera ecuación es decir un valor para $x$ y otro para $y$ que satisfagan la igualdad. Una solución sencilla es $x=1$ y $y=2$, ¿es la única solución que existe? No pues $x=-3$ y $y=8$ también cumplen con la igualdad, de hecho existen infinitas soluciones o par de valores $x$,$y$ que cumplen la igualdad. Ahora lo interesante sería tener un método para saber "todas" las soluciones, o dicho de otra forma nuestro objetivo en este artículo es tener una solución tipo "plantilla" de la cual se podrá deducir cualquier solución. Vayamos pues y analicemos un caso particular de las ecuaciones diofantinas donde $c=0$ pues este es el caso fácil. Ejemplos:

Se ve en estos 3 ejemplos una solución trivial cuando $x$ y $y$ son $0$ pero eso no nos dice mucho, ahora pensemos en qué es lo que tiene que pasar para que dos cantidades al sumarlas sean $0$, recordemos la balanza que venía dibujada en los libros de primaria, debíamos tener el mismo peso pero en lados opuestos para que estuviera equilibrada, bueno la idea de tener una cantidad negativa y esa misma cantidad positiva (al sumarlas es obvio que es cero) se asemeja a la propuesta de la balanza. Llevando esta idea a las ecuaciones diofantinas tenemos que hacer que $5x$ sea igual a $7y$ (hablando del primer ejemplo) pero con signo contrario para que al sumarlas nos den $0$. Ahora nuestro problema se reduce a encontrar la forma de hacer $5x$ igual a $7y$ siendo una positiva y la otra negativa. Una forma de hacerlo es haciendo $x=-7$ y $y=5$ en este punto diremos que tenemos una solución inicial pero ¿qué hay de la otras infinitas soluciones? Veamos esta imagen

Digamos que esta balanza junto con las manzanas y peras representa nuestra ecuación diofantina. En un lado tenemos manzanas y en otro peras, imaginemos que el peso de cada manzana y el de cada pera son soluciones particulares de nuestra ecuación pues es obvio que la suma total de las manzanas es igual al de las peras y que se encuentran en lados opuestos pues la balanza esta equilibrada. Hemos encontrado una solución inicial. Ahora si doblamos la cantidad de frutas en cada plato de la balanza ésta seguirá en equilibrio pues ambos platos pesaran la misma cantidad, notemos que ese nuevo peso es nuevo o distinto del inicial pero sigue cumpliendo con el equilibrio, ese nuevo peso es una nueva solución, si seguimos doblando o triplicando, etc, seguiremos obteniendo nuevos pesos o soluciones. El punto es que partiendo de una solución inicial podemos tomar los múltiplos de esta solución y conseguir nuevas soluciones, infinitas si queremos. Todo lo anterior se resume en:

Para la ecuación $ax+by=0$ podemos tener una solución inicial con: