Una matriz es un arreglo de elementos que pueden ser números o expresiones y que es en dos dimensiones, eso quiere decir que está formada por filas y columnas, el siguiente es un ejemplo de una matriz:
$\begin{pmatrix}4 & 3 & 2\\ 1 & 5 & 6\end{pmatrix}$
La matriz anterior es una matriz compuesta de $2$ filas y $3$ columnas es una matriz de dimensión $2\times 3$, en general una matriz de $n$ filas y $m$ columnas es de dimensión $n\times m$ también se le puede decir tamaño de una matriz. Si el número de filas es igual al número de columnas entonces es una matriz cuadrada $n=m$.
Posiciones
Como está compuesta por elementos diferentes necesitamos una manera de identificarlos a cada uno por separado, existe una notación que se vale de las filas y columnas para establecer la posición dentro de la matriz a la que nos referimos, por ejemplo supongamos que la matriz anterior tienen por nombre A:
$A=\begin{pmatrix}4 & 3 & 2\\ 1 & 5 & 6\end{pmatrix}$
Entonces $A_{2,3}$ se refiere a la matriz $A$ en la fila $2$ y la columna $3$, en esta posición encontramos el elemento $6$, otro ejemplo usando la misma matriz es saber como podemos identificar el número $3$ usando nuestra notación, como el $3$ se encuentra en la primera fila y en la segunda columna la posición de nuestro elemento en la matriz $A$ sería $A_{1,2}$. $A_{i,j}$ define el elemento en la fila $i$ y columna $j$.
$A=\begin{pmatrix}a_{1,1} &a_{1,2} &a_{1,3} \\ a_{2,1} &a_{2,2} &a_{2,3} \\ a_{3,1} &a_{3,2} & a_{3,3}\end{pmatrix}$
Vectores
Los vectores también son matrices pero un caso especial en el que alguna dimensión sea $1$, por ejemplo 1 fila y $m$ columnas o $n$ filas y 1 columna. En el caso de ser una fila y varias columnas se le llama vector fila $1\times m$ en caso de ser $n$ filas y una columna es vector columna $n\times 1$. Ejemplos:
Vector fila $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 &5 \end{pmatrix}$
Vector columna $\begin{pmatrix}3\\ 4\\ 5\\ 6\end{pmatrix}$
Matrices iguales
Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y los mismos elementos en las mismas posiciones.
