Veamos algunos ejercicios resueltos de multiplicación de matrices para ver como se hace. La operación multiplicación usando matrices es un poco especial pues no todas las matrices pueden multiplicarse entre sí, así como es necesario que dos matrices sean del mismo tamaño para poder sumarlas o restarlas para que dos matrices puedan multiplicarse entre sí existe una condición:
Entonces vamos a empezar con los ejemplos, veamos primero un ejemplo con vectores fila y vectores columna.
"Para que dos matrices puedan multiplicarse entre sí el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz."
Entonces vamos a empezar con los ejemplos, veamos primero un ejemplo con vectores fila y vectores columna.
$A=\begin {pmatrix} 2&3&6&7 \end {pmatrix}$ $B=\begin {pmatrix}7\\9\\2\\-5 \end {pmatrix}$
Tenemos los vectores $A$ y $B$ que son matrices de tamaño $1\times 4$ y $4\times 1$ respectivamente, entonces la condición para multiplicarlas se cumple pues la primera tiene 4 columnas y 4 es el número de filas del segundo vector. El proceso de multiplicación es tomar la primera posición $A_{1,1}$ que es 2 y multiplicarla por la primera posición del segundo vector $B_{1,1}$ que es 7, tomar la segunda posición $A_{1,2}$ y multiplicarla por $B_{2,1}$, después $A_{1,3}$ por $B_{3,1}$ y finalmente multiplicar $A_{1,4}$ con $B_{4,1}$, todos los resultados de esas multiplicaciones los sumaremos:
$A\times B=(2\cdot 7) + (3\cdot 9) + (6\cdot 2) + (7\cdot -5)$
$A\times B=14+27+12-35=18$
El proceso multiplicar $A$ por $B$ en este ejemplo es una matriz $AB$ de tamaño $1\times1$ cuyo único elemento es $18$, en general el resultado de la operación $A_{m\times n}\times B_{n\times p}$ es una matriz $AB_{m\times p}$. Siguiente ejemplo:
$\begin {pmatrix} 4&5&6&7 \end {pmatrix} \cdot \begin {pmatrix} 3&-1\\5&0\\7&-4\\9&8 \end {pmatrix}=\begin {pmatrix} 142 & 28 \end {pmatrix}$
Vamos paso a paso, primero tenemos dos matrices de tamaño $1\times 4$ y $4\times 2$, puesto que el número de columnas de la primera (4) es igual al número de filas de la segunda (4) podemos hacer la multiplicación, ahora ¿por qué el resultado es una matriz con dos elementos? puesto que según la parte resaltada de color celeste tendríamos una matriz resultado de tamaño Numero de filas de la primera $\times$ Número de columnas de la segunda es decir $1\times 2$. Los elementos de esta matriz resultado vienen dados por las siguientes operaciones según el proceso que ya vimos:
$4\cdot 3 + 5\cdot 5 + 6\cdot 7 + 7\cdot 9=142$
$4\cdot -1 + 5\cdot 0 + 6\cdot -4 + 7\cdot 8=28$
Siguiente ejemplo:
$A\cdot B=\begin{pmatrix} 3&0&0\\2&5&0\\0&1&0 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} 3&1&1\\0&4&0\\1&1&1 \end {pmatrix}$
Las operaciones son como siguen:
$AB=\begin {pmatrix} 3\cdot 3+ 0 \cdot 0 + 0\cdot 1& 3\cdot 1+ 0\cdot 4 + 0\cdot 1& 3\cdot 1+ 0\cdot 0 + 0\cdot 0\\2\cdot 3+ 5\cdot 0 + 0\cdot 1& 2\cdot 1 +5\cdot 4+ 0\cdot 1& 2\cdot 1+ 5\cdot 0+0\cdot 1\\ 0\cdot 3+ 1\cdot 0 + 0\cdot 1&0\cdot 1+ 1\cdot 4+0\cdot 1& 0\cdot 1 + 1\cdot 0 + 0\cdot 1\end {pmatrix}$
$AB=\begin{pmatrix}9&3&3\\6&22&2\\0&4&0 \end {pmatrix}$
Hasta aquí hemos visto algunas cosas sobre multiplicación de matrices, por ejemplo al multiplicar un vector columna por un vector fila tenemos como resultado un solo elemento, además la matriz resultado de multiplicar dos matrices de tamaño $m\times n$ y $n\times p$ tendrá un tamaño de $m\times p$,y que la condición para que dos matrices puedan multiplicarse es que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda. Por último es necesario mencionar que $A\cdot B\neq B\cdot A$ es decir la multiplicación de matrices no es conmutativa.
