Video ecuaciones de segundo grado con una incógnita

     Para repasar algo sobre las ecuaciones de segundo grado y como resolverlas les dejo un video que he encontrado en vimeo:

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita

     Son las ecuaciones en las que el mayor exponente de los términos es $2$ ejemplo:

$x^{2}+6x+7=0$

    es una ecuación de segundo grado. Las siguientes ecuaciones también son de segundo grado pero se les llaman incompletas por una razón:

$x^{2}+7=0$

$x^{2}+6x=0$

     les falta un término (en $x$ o el término independiente).

Raíces

      Las raíces de una ecuación son los valores dados a la incógnita y que satisfacen la igualdad.

Video de suma y resta de términos semejantes

     De los muchos videos que encontramos por internet explicando un poco sobre términos semejantes me parece que este es digno de mención, las ideas son claras sobre lo que son términos semejantes y con un lenguaje sencillo. 

Paquetería y matemáticas

     Hace poco compré unos libros y un reloj en amazon, la diferencia del tiempo de entrega fue grande, mientras que los libros tardaron una semana el reloj solo un par de días. Independientemente de que los paquetes quedaron dentro del tiempo de entrega estimado me quedé pensando en el problema que tienen las compañías de paquetería a la hora de elegir las rutas más rápidas. En una entrega internacional al principio no hay mucho problema pues no hay muchas rutas para llegar de una ciudad a otra y es fácil ver cual es la más conveniente, el problema viene cuando intentamos buscar la mejor ruta para entregar no uno sino muchos paquetes dentro de una ciudad, pues las rutas posibles se disparan (la forma en la que las matemáticas abordan el problema es utilizando la teoría de grafos).

UPS y su sistema de entrega
 

Beauty of Mathematics

     A continuación un video que muestra la relación entre las matemáticas y el mundo real.



                 

Factorización por factor común

     La descomposición en factores de una expresión algebraica o factorización es convertir esa expresión en varios factores indicados, dicho de forma sencilla es convertir las sumas y restas en una expresión algebraica en factores que se multiplican entre sí. Dos ejemplos de factorización son los siguientes:

$x^{2}+7x+12=(x+4)(x+3)$

$8x-1+24bx-3b=(8x-1)(3b+1)$

     Pero ¿Qué reglas se tienen que seguir o cómo hacemos para pasar de la expresión de la izquierda a la expresión de la derecha?

Factor común

     Existen varias formas de factorizar un polinomio, en esta entrada vamos a ver la factorización por factor común, como su nombre lo indica es cuando dentro de un polinomio tenemos factores que dividen a todos los términos, esos podemos agruparlos de tal forma que podamos formar un producto. Veámoslo de esta forma, supongamos que tenemos la siguiente suma:

Signos de relación

     Existen muchos signos de relación entre los más conocidos están los siguientes:

$<$ Menor que

$>$ Mayor que

$=$ Igual

$\leqslant$ Menor o igual

$\geqslant$ Mayor o igual

$\neq$ Diferente de

$\approx $ Aproximadamente


     Estos signos sirven para expresar la relación entre dos cantidades, ejemplos:

Algebra y la historia del ajedrez

     Si tuvieron la oportunidad de leer la adaptación de la historia del ajedrez (sino pueden leerla aquí) tal vez les resulte interesante saber que la última parte esta muy relacionada con un tema de álgebra, en seguida veremos porqué. Empecemos con la siguiente parte que dice:

“Está bien. Si al presidente de verdad le parece bien, que se preste atención al tablero de este humilde juego. Sólo tiene 64 casillas. Por favor, que se me otorgue un grano de maíz por la primera casilla, dos por la segunda, cuatro por la tercera, y así, que se vaya doblando la cantidad en cada casilla hasta que lleguemos a la 64.”

     Algo muy humilde de parte del genio mexicano ¿no?, si hacemos una breve lista con los números correspondientes a las 10 primeras casillas tenemos:

$1$, $2$, $4$, $8$, $16$, $32$, $64$, $128$, $256$, $512$

     Así que podemos llegar a pensar que el número resultante de la casilla 64 será algo grande pero nada que impresione, y con la suma de todas las casillas pasaría lo mismo. Pero lo cierto es que el último número es uno muy grande, lo pongo a continuación:

Breve historia sobre el Ajedrez

EL ORIGEN DEL AJEDREZ

El siguiente cuento circula por todo el mundo con muy diversos matices. Se cree que el ajedrez se inventó en la India. A continuación, una versión ficticia con adaptación mexicana.

Adaptación por Jahaziel Ramírez Martínez

Sucedió en la segunda intervención francesa en México que el presidente Benito Juárez defendía con firmeza la naciente patria. México estaba herido, y su herida más que abierta era profunda. El presidente tenía que hacer frente a tres naciones: Francia, Inglaterra y España. Todo era un asunto de oscura traición, arrogancia y ambición sin escrúpulos. No se me permite decir la verdad del bando de Benito Juárez porque ganó.

El caso es que el presidente Benito Juárez se preparó para atender la situación de forma diplomática y de forma militar. En el caso diplomático Manuel Delgado fue muy exitoso y logró tras la ofensiva militar francesa acordar la paz con Inglaterra y España, dejando a Francia sola.

El paso a México se cortaba en Puebla, y allí decidió el Gral. Ignacio Zaragoza realizar su defensa. De forma cuidadosa revisó la geografía de su ciudad, sus ventajas y desventajas, sus generales y sus diferentes habilidades. No dejó cabo suelto Zaragoza. Sabía que su estrategia solo sería exitosa si se basaba en la defensa, pues no tenía elementos para sobrevivir si atacaba. Poco armamento, pocos soldados.

Ideas generales sobre Probabilidad

     Muchos hemos escuchado la palabra "probabilidad" y tenemos noción de qué  significa, en las siguientes lineas no intento definir formalmente probabilidad sino dar una idea global de lo que es usando algunos ejemplos sencillos de probabilidad. A continuación algo que podría ser una definición:

  "La probabilidad de que algo pase es el cociente del número de casos favorables entre el número total de casos posibles."

     Un ejemplo sencillo del que todos hemos oído hablar es el de una moneda, la probabilidad de que salga águila es $\frac{1}{2}$ pues existe un caso favorable (que salga águila) sobre dos posibles (águila o sol). O si tenemos un dado y lo lanzamos la probabilidad de que obtengamos un número mayor que 4 es $\frac{2}{6}$ que es $\frac{1}{3}$, cinco y seis son los casos favorables sobre 6 casos posibles. Algunas propiedades sobre probabilidad  a continuación.

Cuatro propiedades.

  "La probabilidad de que algo ocurra es un número entre 0 y 1 siendo 0 cuando es imposible que sucede el evento y 1 cuando es seguro que ocurra."

Conjuntos numéricos

$\mathbb{R}$ Es el conjunto de los números reales.

       $-1, 2, 3.5, \pi , \sqrt{3}$

$\mathbb{A}$ Números algebraicos.

       $-1, 2, 3.5, i\sqrt{2} , \sqrt{3}, -3+2i$

Término algebraico y sus partes

     La imagen de arriba es un término algebraico y estas son sus partes:

Signo: el término puede ser positivo o negativo, si es positivo no se indica con ningún caracter, en caso contrario como la imagen inicial se indica que es negativo con un "$-$" que precede al coeficiente.

Coeficiente: Es el número por el cual se multiplica el resto del término en nuestro ejemplo es el $4$, en caso de no tener coeficiente se entiende que es la unidad.

Fábula

La siguiente entrada es una colaboración de Jahaziel Ramírez.

FABULA DE LA CRIATURA QUE MIRA

Por Jahaziel Ramírez Martínez

Sucedió hace muchos muchos años, en los principios de la creación. Había una criatura especial, escogida por el Señor para cuidar de la Tierra mientras creaba al hombre. Hacía su trabajo perfectamente. Era sumamente brillante. Todos los días, después de cuidar diligentemente de todos- de los animales, asegurarse que los ríos corrieran en su lugar, que el rocío fuese el necesario, que los árboles crecieran lo suficiente, que el sol no calentara demasiado-, él tenía un pasatiempo favorito.

Su nombre era Criatura que mira precisamente porque su pasatiempo favorito era mirar la luna. Nada era mas deseado por el que mirar la luna.  Después de ese pasatiempo lo que mas le gustaba era el calor de la Tierra. Le encantaba sentir su tibieza al atardecer. Pero no tenía la capacidad de escarbar en ella para sentirla mejor.

Resolución de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

     En el siguiente artículo voy a presentar una forma de resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas (se le llama "método de reducción"). Las ideas necesarias que debemos tener son 2, la primera es multiplicar las ecuaciones individualmente por algún número y la segunda sumar ambas ecuaciones para  obtener una tercera ecuación. Tomemos de ejemplo el siguiente sistema:

     Lo que vamos a hacer es multiplicar por $4$ la segunda ecuación con la idea de que la "y" de la segunda ecuación tenga el mismo coeficiente que la primera pero con signo contrario:

     Después sumamos ambas ecuaciones para obtener una tercera

                                                  +  

                                                  ---------------------

     Y se resuelve la ecuación que salió de sumar las 2 primeras

Juan López Capítulo 2

La siguiente entrada es una colaboración de Jahaziel Ramírez.

TARDE

Por Jahaziel Ramírez Martínez

Ya hace una semana que perdí mi empleo por olvidar mi contraseña. Todavía me da risa cuando me acuerdo. Llamé a mi jefe y le conté que la había recordado, que todo estaba allí en la máquina. Que podía revisarlo el mismo. Le expliqué que en la cuenta de correo que había hecho exclusivamente para asuntos laborales podía hallar los pormenores de la negociación. Minutas, análisis, etc.… Todo estaba allí.

Nunca más pude abrir esa cuenta, aunque recuerdo la contraseña. Era *****. Pero nunca pude entrar. Leyendo el periódico me enteré que la empresa finalmente firmó el convenio y que a mi jefe lo nombraron Director General.

Llamé a mi exjefe para solicitarle que me diera otra oportunidad. Nunca atendió. Envié mails, llamé, lo visité, pero fue en vano. Empiezo a creer que no le interesa ayudarme. Lleno solicitudes, preparo mi papelería y me pongo a buscar. Nada. Nadie llama de vuelta. Nadie me concede una entrevista. Parece como si el mundo entero me ignorara. El dinero se acaba.

Mi dieta siempre ha sido una muy buena. En mi casa se preparan platillos deliciosos. A veces me recuerdan al rancho con los frijoles negros guisados, un queso de vaca y una salsa de chile pajarito martajado en el molcajete. Huevos estrellados con salsa verde, o con salsa roja, o revueltos con chile, son un manjar común. Los miércoles que hay tianguis me preparan una guiso de calabacita tierna con elote y picante. Un guiso de cortadillo es el plato fuerte, y un arroz esponjoso y bien sazonado les acompaña. Pero me han dicho que el dinero se acaba y que es necesario que aporte dinero de nuevo para poder subsistir.

Ecuaciones diofantinas

     Este es el primer artículo dentro de la categoría "Teoría de números", la teoría de números es la que estudia las propiedades de los números enteros y cualquier problema que surja de ellos. Así por ejemplo en una ecuación estaremos interesados en las soluciones enteras y dejamos fuera todas las demás. El conjunto de enteros es $\mathbb{Z}=\left \{ ...,-2,-1,0,1,2,... \right \}$ y cuando estemos en teoría de números imaginemos que no existen ni decimales, ni racionales, ni ningún otro tipo, solo enteros, en  cierta forma es como cuando eramos niños.

     Como ya hemos visto algo de ecuaciones de primer grado el tema de ecuaciones diofantinas puede ser un buen comienzo para abrir con teoría de números. ¿Qué es una ecuación diofantina? Es una ecuación de primer grado con dos incógnitas y coeficientes enteros, ejemplo:

     Siendo $a$, $b$ y $c$ enteros el caso general es:

Cuento breve.

La siguiente entrada es una colaboración de Jahaziel Ramírez y sirve para abrir una nueva temática "Literatura".

LA CONTRASEÑA

Por Jahaziel Ramírez Martínez

Me llamo Juan López. ¡Hoy es un día maravilloso! El sol resplandeciente y el clima cálido ponen fin a las semanas de frío que hemos vivido en la ciudad. He dormido bien y me siento descansado y entusiasta. Hemos estado trabajando duro por meses en un proyecto que se coronará hoy. Parece que mi cuerpo también se siente más despierto pues me alisto con rapidez.

Lo primero que me encuentro al bajar las escaleras es actividad en la cocina. Me han preparado el almuerzo y el café. Almuerzo rápido porque no quiero llegar tarde. En menos de lo que canta un gallo estoy completamente listo. Tomo mis llaves y me encamino en mi auto a la oficina.

La ciudad se ve esplendida. La humedad asciende de entre las montañas y los rayos de luz forman un severo contraste entre la penumbra de los cañones y la luminosidad de la niebla y las laderas al sol. Hay más actividad y el bullicio empieza a aparecer a medida que cruzo el centro. Sólo llama mi atención un microbús que ha arrollado a una moto, pero por buscar al de la moto casi me llevo a un peatón yo mismo. Sigo y la brisa de hoy es agradable. Los árboles de la ciudad lucen majestuosos y el sereno se levanta sobre el pasto junto al río.

Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita

 

"Primero hay que ponerse los calcetines y luego los zapatos"

     La diferencia entre una igualdad y una ecuación es que en la ecuación tenemos una o varias cantidades desconocidas que tienen por nombre incógnitas y que esa igualdad solo se verifica para ciertos valores de dichas incógnitas. Veamos un ejemplo de una ecuación de primer grado y con una incógnita.

     En este ejemplo nuestra incógnita es $x$ y el valor es fácilmente deducible, el valor de $x$ para el cual se cumple la igualdad es $8$ pues $8+7=15$. El método que hemos usado para resolver la ecuación tal vez tiene que ver más con "tratar" con varios números hasta dar con el correcto que con tener un método sistemático para resolverla. Por esa razón necesitamos saber algunos pasos o el método general para resolver ecuaciones de este tipo.

     Antes de presentar la forma de resolver las ecuaciones cabe mencionar que esta forma o método está basado en unas cuantas reglas simples en las que todos coincidiremos tales como si existen dos valores iguales y los tratamos por separado agregando una misma cantidad a ellos y después los comparamos siguen siendo iguales, algo así como "podemos sumar un mismo término en cada lado de la  igualdad sin afectarla".

     Y lo mismo podemos decir para la resta, multiplicación y división: