Binomio al cubo

     Elevemos  el binomio $(a+b)$ al cubo, sabemos que esto significa multiplicar tres veces el mismo binomio esto es $(a+b)(a+b)(a+b)$ pero podemos agruparlo como sigue $(a+b)^{2}(a+b)$ ahora aplicando la regla del binomio al cuadrado al primer término nos quedaría:

$(a^{2}+2ab+b^{2})(a+b)$

ahora para conocer el resultado multipliquemos el primer factor por $a$ luego por $b$  y al final sumamos los resultados dados:

$(a^{2}+2ab+b^{2})(a)=a^{3}+2a^{2}b+ab^{2}$

$(a^{2}+2ab+b^{2})(b)=a^{2}b+2ab^{2}+b^{3}$ 

sumamos:

$a^{3}+2a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b+2ab^{2}+b^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

por lo tanto:

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

Hemos hallado la siguiente regla:

Productos notables (suma por la diferencia de dos cantidades)

     Establezcamos la siguiente regla para conocer el resultado del producto ($a+b$)($a-b$):

• La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo.

Podemos decir entonces lo siguiente:

Ejemplos de aplicación de la regla:

Binomio al cuadrado

     Al hacer multiplicaciones en álgebra muchas veces nos encontramos una y otra vez con el mismo "tipo" de multiplicaciones, después de hacer muchas veces estos problemas vemos que no es necesario (en muchos casos) hacer toda la multiplicación pues existen algunas reglas sencillas para saber el resultado sin hacer todas las operaciones, a esto se le llama productos notables, son productos que sobresalen de los demás por cumplir unas reglas específicas que enseguida veremos.

Binomio al cuadrado

     Elevar un binomio ($a+b$) al cuadrado es lo mismo que multiplicar $a+b$ por $a+b$, efectuando las operaciones es fácil ver el resultado:

     De aquí razonamos la regla para saber el resultado de un binomio al cuadrado:

• "El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado de la primera cantidad más dos veces la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad."

Veamos un ejemplo rápido desarrollar $(a+3)^{2}$:

Primero el cuadrado del primer término, esto es $a^{2}$

Después el doble de la primera cantidad por la segunda, quedaría

Por último el cuadrado de la segunda cantidad $3^{2}=9$ unimos todo y tenemos:

Que es nuestro resultado final.

Otros Ejemplos:

Multiplicación de polinomios por polinomios

     Veamos la regla para multiplicar polinomios por polinomios:

     Multiplicar todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador aplicando la ley de los signos y después reducir los términos semejantes.

Veamos:

Multipliquemos pues $z$ por el segundo factor ($3+z$) o ($z+3$ ) que es lo mismo, el resultado será:

Ahora hagamos lo mismo con $-8$ multipliquemos este por el segundo factor dando:

Y por último agrupemos todo y tendremos que reducir los términos semejantes:

Siendo este último el resultado de multiplicar los dos polinomios. Pasemos a otro ejemplo.

Leyes de los exponentes

     Las leyes de los exponentes no es más que sumar multiplicar o dividir exponentes, solo necesitamos saber en que momento tenemos que hacer cada operación. Un exponente se puede definir como el número que define la cantidad de veces que se tiene qué multiplicar un factor por sí mismo, sencillo ¿verdad? el problema es cuando tenemos que elevar algo a la "cero" o manejar exponentes fraccionarios o incluso exponentes literales, las siguiente reglas serán de utilidad:

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$

 

     De acuerdo con las reglas anteriores tenemos que todo número elevado a la "cero" es igual a la unidad, un factor elevado a la unidad da como resultado el mismo número, también que un exponente negativo indica que divide al factor que lo acompaña o que cuando multiplicamos factores con misma base debemos sumar los exponentes, etc. Expongamos pues cada caso usando ejemplos.

Teorema de Pitágoras Ejercicios Resueltos

     El teorema de pitágoras es uno de los más famosos que existen, en geometría se refiere a la relación que existe entre la hipotenusa en un triángulo rectángulo con sus catetos.

    La relación se expresa como sigue: "La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa", visto desde el punto de vista algebraico tenemos la siguiente ecuación:

     En donde $a$ y $b$ representan los catetos y $c$ a la hipotenusa, esta ecuación es utilizada para definir el valor de alguna de las variables sabiendo las otras dos, fácilmente se puede deducir como sacar el valor de cada variable.

     Aquí hemos restado de ambos lados $b$ al cuadrado por lo que la igualdad se mantiene y conseguimos tener la $a$ sola de un lado de nuestra ecuación, el segundo paso es sacar raíz cuadrada en las dos partes de la ecuación quedando:

¿Cómo sumar y restar fracciones?

      Cuando se trata de sumar fracciones o restar fracciones solo tenemos que asegurarnos de una cosa, el número de abajo es el mismo, es decir el denominador es el mismo. Tenemos pues 2 casos, cuando el denominador es el mismo y cuando no lo es. A continuación ejemplos resueltos de suma de fracciones.

Caso 1 Fracciones con mismo denominador

     Basta sumar las cantidades del numerador directamente y si es necesario simplificar la fracción:

     Si es necesario restar hacemos lo mismo:

 ¿Qué pasa cuando tenemos diferentes denominador? Veamos el caso 2

¿Cómo multiplicar y dividir fracciones?

     Una parte importante de la matemática en general es el poder usar distintos números a parte de los enteros, existen muchos grupos o conjuntos de números pero vamos a hablar de los racionales. Las fracciones entran en el grupo de los racionales por no decir que son los mismos, aunque enseñados desde la primaria, estos quebrados muchas veces nos representan pequeños problemas de cabeza, así es que en esta entrada analizaremos las operaciones entre dos números fraccionarios, más concretamente ejercicios resueltos de multiplicación y resta de fracciones.


Multiplicación de fracciones
     La multiplicación de fracciones es la operación más sencilla tomemos el ejemplo siguiente:

     Esto es multiplicar un medio por cinco tercios, nada más sencillo que multiplicar los de arriba y poner el resultado "arriba" y lo mismo con los de abajo:

      En caso de existir más de dos fracciones para multiplicar haremos lo mismo, multiplicar todos los numeradores ("los de arriba") y todos los denominadores ("los de abajo"). En caso de presentarse algún entero lo cambiamos por la forma fraccionaria, es decir con un uno debajo:

Multiplicación de monomios por polinomios

     En la multiplicación de monomios por polinomios podemos establecer la siguiente regla:

Debemos multiplicar el monomio por cada término del polinomio haciendo caso a la ley de los signos y separando los productos resultantes con sus propios signos.

     Siempre podemos comprender mejor viendo un ejemplo, hagamos pues la siguiente multiplicación:

     Empecemos por efectuar cada multiplicación por separado esto es:

     Ahora unamos los resultados parciales separados por su signo, quedando:

Multiplicación de monomios

     Para la multiplicación de monomios debemos aplicar la ley de exponentes, de coeficientes y la ley de los signos.

Con un ejemplo se ve más claro:

\[2b^{2}(-3b^{3})\]

     Ahora lo primero que tenemos que hacer es multiplicar los coeficientes $2$ y $-3$ .

\[-6b^{2}b^{3}\]

     Ahora sumamos los exponentes pues tienen la misma base quedando

\[-6b^{2+3}=-6b^{5}\]

     Veamos otros ejemplos:

Ley de signos, ley de exponentes y la multiplicación en algebra

     La multiplicación en álgebra no es distinta a la multiplicación en aritmética pues existen los factores y el producto, la ley de los de signos y de exponentes que son los mismos conceptos que en aritmética. Antes de empezar con ejercicios establezcamos algunos puntos.

Ley de los signos

     En resumidas cuentas la ley de los signos es la siguiente :

$+$ por $+$ da $+$

$-$ por $-$ da $+$

$+$ por $-$ da $-$

$-$ por $+$ da $-$